§ 53. Гармонические колебания

Рассмотрим колебания, описываемые уравнением

(см. (50.7)). Такие колебания совершает тело массы , на которое действует только квазиупругая сила . Коэффициент при х в уравнении (53.1) имеет значение

(см. (50.6)).

Подставив в (53.1) выражение (см. (52.9)), придем к характеристическому уравнению

Это уравнение имеет мнимые корни

Согласно (52.12) общее решение уравнения (53.1) имеет вид

где комплексные постоянные.

Описывающая колебание функция x(t) должна быть вещественной. Для этого коэффициенты в (53.3) нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие (см. (51.8))

(мы приравняли выражение (53.3) его комплексно сопряженному). Соотношение (53.4) будет выполнено, если (в этом случае ). Представим удовлетворяющие такому условию коэффициенты в показательной форме (см. (51.12)), обозначив их модуль через а аргумент буквой а:

Подстановка этих выражений в (53.3) дает

(см. формулу (51.11)). Таким образом, общее решение уравнения (53.1) имеет вид

где — произвольные постоянные.

Итак, смещение изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида представляет собой гармоническое колебание.

График гармонического колебания, т. е. график функции (53.7), показан на рис. 53.1. По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси — смещение х. Поскольку косинус изменяется в пределах от —1 до +1, значения х лежат в пределах от до

Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда а — постоянная положительная величина. Ее значение определяется величиной первоначального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.

Величина стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постоянная а представляет собой значение фазы в момент времени и называется начальной фазой колебания. С изменением начала отсчета времени будет изменяться и а. Следовательно, значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени. Так как значение не изменяется при добавлении или вычитании из фазы целого числа всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше Поэтому обычно рассматриваются только значения а, лежащие в пределах от до

Поскольку косинус — периодическая функция с периодом различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное (рис. 53.1). Этот промежуток времени Т называется периодом колебания. Он может быть определен из следующего условия: откуда

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания v. Очевидно, что частота v связана с продолжительностью одного колебания Т следующим соотношением:

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 103 Гц называется килогерцем в — мегагерцем (МГц).

Из (53.8) следует, что

(53.10)

Таким образом, дает число колебаний за секунд. Величину называют круговой или циклической частотой.

Рис. 53.1,

Она связана с обычной частотой v соотношением

(53.11)

Продифференцировав (53.7) по времени, получим выражение для скорости

(53.12)

Как видно из (53.12), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна Из сравнения (53.7) и (53.12) следует, что скорость опережает смещение по фазе на

Продифференцировав (53.12) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения:

(53.13)

Как следует из (53.13), ускорение и смещение находятся в противофазе.

Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

На рис. 53.2 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.

Каждое конкретное колебание характеризуется определенными значениями амплитуды а и начальной фазы а. Значения этих величин для данного колебания могут быть определены из так называемых начальных условий, т. е. по значениям отклонения и скорости в начальный момент времени. Действительно, положив в (53.7) и получим два уравнения:

из которых находим, что

(53.14)

Уравнение (53.15) удовлетворяется двумя значениями а, лежащими в интервале от до Из этих значений нужно взять то, при котором получаются правильные знаки у косинуса и синуса.

Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной.

Рис. 53.2.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения

(53.16)

при прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения

(выше было показано, что амплитуда скорости равна ). Выражения (53.16) и (53.17) равны друг другу, так как согласно (53.2) .

Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна (см. выражение (53.12) для

(53.18)

Потенциальная энергия выражается формулой

(53.19)

Сложив (53.18) с (53.19) и приняв во внимание, что получим формулу для полной энергии:

(53.20)

(ср. с (53.16) и (53.17)). Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной.

Используя известные формулы тригонометрии, выражениям для и U можно придать вид

(53.21)

где Е — полная энергия системы.

Рис. 53.3.

Из этих формул видно, что изменяются с частотой т. е. с частотой, в два раза превышающей частоту гармонического колебания. На рис, 53.3 сопоставлены графики для .

Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине. Следовательно, среднее значение совпадает со средним значением U и равно .