2.4. УПРАВЛЯЕМАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Применение оптимальной либо тихоновской фильтрации к восстановлению изображений в ряде случаев оказывается неудовлетворительным [75]. Это обстоятельство вызвано прежде всего спецификой изображений, а именно, несовместимостью математических критериев, например критерия

минимума средней квадратической ошибки, с критериями качества изображений, определяемыми физиологией зрительного восприятия. Дело в том, что восприятие изображения является очень сложным процессом, в котором принимает непосредственное участие мозг человека. В качестве примера можно привести восприятие контурных изображений: зрительный анализатор мозга легко достраивает недостающие детали и воспринимает набор контуров как целостный образ. Построение физиологических моделей зрительного восприятия и на их основе математических критериев качества изображения является очень сложной задачей, которая до сих пор не решена. Тем не менее, известны некоторые практические соображения. Известно, например, что субъективные оценки качества изображения склоняются в сторону более зашумленных, но четких изображений, чем обесшумленных, но размытых (смазанных) [60].

Указанная ситуация требует искать такие способы построения гибких, управляемых характеристик восстанавливающих фильтров, использование которых могло бы обеспечить разумный компромисс между усилением шума и потерей разрешения в изображении. Специфической особенностью фильтрации такого рода является необходимость вмешательства человека-оператора в процесс реставрации с целью согласования качества восстановленного изображения с визуальными критериями.

Обратимся к определению понятия управления фильтрацией. Это управление предполагает существование некоторого набора параметров от которых зависит характеристика восстанавливающего фильтра

Варьирование набором параметров позволяет управлять качеством реставрации. Отметим, что в схеме тихоновской фильтрации у нас уже имеется один такой параметр — параметр регуляризации. Действительно, характеристика восстанавливающего тихоновского фильтра имеет вид

Практика, однако, показывает, что управление параметром а часто бывает недостаточным [77].

Обратимся теперь к оптимальной винеровской фильтрации. Критерий минимума средней квадратической ошибки, на основании которого построена винеровская характеристика

восстанавливающего фильтра, часто приводит к сильному сглаживанию мелких деталей изображения, в результате чего восстановленное изображение выглядит дефокусированным. С другой стороны, поскольку оператор винеровской фильтрации входит в семейство тихоновских регуляризирующих операторов, должно выполняться соотношение:

Таким образом, регуляризирующий множитель в винеровской фильтрации соответствует выбору параметра Естественно, что возникает вопрос о возможности выбора таким образом, отклонившись от оптимального винеровского стабилизатора, управлять процессом реставрации. Этот прием действительно иногда используется в практике восстановления изображений, причем результирующий фильтр называется параметрическим винеровским фильтром

Интересно, что эта характеристика фильтра может быть получена при использовании некоторого вариационного принципа, оптимизирующего в отдельности выходной шум и отклонение изображения от его истинного значения. Покажем это. Выходной шум в восстановленном изображении равен

Среднее квадратическое отклонение изображения от истинного есть

Составим некоторый комбинированный критерий, а именно, будем минимизировать следующее выражение:

Весовые множители и здесь соответствуют тому, с каким весовым коэффициентом будет проводиться минимизация, будет ли уделено наибольшее внимание сглаживанию шума или реставрации изображения. Так, если то мы должны получить собственно оптимальную фильтрацию. Преобразуя выражение (2.45), получим:

Предположим, что сигнал и шум статистически независимы и раскроем модули в (2.46). Тогда получим

Для определения минимума этого функционала, найдем производную по :

Отсюда решение для передаточной характеристики восстанавливающего фильтра будет:

Фильтр с передаточной функцией вида (2.47) называется также фильтром Бэйкуса — Гильберта. Нетрудно видеть, что этот фильтр совпадает с параметрическим винеровским фильтром, если обозначить Легко также заметить, что если положить в (2.46), т. е. по смыслу задачи не ограничивать мощность шума в восстановленном изображении, то (2.47) вырождается в инверсный фильтр, а винеровский фильтр соответствует случаю, когда минимизации мощности шума и отклонения сигнала от истинного уделяется одинаковое внимание. Таким образом, компромисс между усилением шума и разрешением можно искать, полагая [60].

Однако варьирование параметром а является все же довольно грубым методом, так как незначительные изменения а могут привести к сильной зашумленности изображения. Это обстоятельство вызвало появление ряда других способов управления частотной характеристикой фильтра. Одним из таких методов является гомоморфная фильтрация. Основная ее идея состоит в нахождении восстанавливающего

фильтра, уравнивающего энергетические спектры восстановленного изображения с априорно известным.

Рассмотрим запись основного интегрального уравнения типа свертки в фурье-области . Здесь спектры соответственно. Будем искать такой линейный фильтр, который бы уравнял квадраты модулей спектров исходного и восстановленного изображения при усреднении по ансамблю реализаций в предположении о статистической независимости сигнала и шума:

Раскроем это выражение и получим:

Отсюда находим:

или

Интересно отметить то обстоятельство, что полученная частотная характеристика может рассматриваться как среднее геометрическое между характеристиками инверсного и винеровского фильтров. Действительно [75], при

Заметим, что обобщенным вариантом (2.48) может служить следующий фильтр:

Этот фильтр может рассматриваться, как некоторый промежуточный между инверсным и винеровским. Действительно, если параметр у меняется от 1 до 0, частотная характеристика восстанавливающего фильтра меняется соответственно от инверсного до чисто винеровского. При получим фильтр, уравнивающий энергетические спектры

изображений. Интересно отметить, что введение дробной степени коэффициента передачи фильтра, согласно эволюционной модели формирования, соответствует представлению линейного фильтра в качестве распределенной среды, последовательно искажающей (восстанавливающей) изображение (см. § 1.3).

Рис. 2.3. (см. скан) Схема эволюционного управления фильтрацией: а — структура эволюционного фильтра; б - частотные характеристики оптимального винеровского фильтра (тихоновской регуляризации) и управляемого фильтра

Попытаемся применить эволюционную модель к решению задачи оптимального выбора частотной характеристики фильтра. Если рассматривать задачу регуляризации уравнения типа свертки безотносительно к оптимальности полученного решения, то общая схема регуляризации эквивалентна последовательному включению двух фильтров: инверсного, компенсирующего влияние искажений, и регуляризующего обеспечивающего устойчивость решения. Представим себе, что оба блока можно заменить на некоторые распределенные системы, описываемые эволюционными уравнениями (рис. 2.3,а). В частотной области это соответствует дробным степеням частотных характеристик:

Положим параметр а равным 1. Это означает, что мы полностью скомпенсировали искажение и перешли к регуляризации. Фильтр регуляризации тоже может быть рассмотрен как распределенная система. Запишем выражение (2.50) и раскроем вид регуляризующего множителя:

Видим, что выбор параметров приводит к чисто инверсной фильтрации, к винеровской фильтрации, к гомоморфной, среднегеометрической фильтрации (2.49). Таким образом, становится ясным смысл фильтра (2.49) — он обеспечивает, по существу, управление регуляризирующим множителем при полностью компенсированных искажениях. Действительно,

Будем называть фильтр (2.51) управляемым эволюционным фильтром. Фактически, мы получили общую формулу для линейной фильтрации, из которой следуют все остальные методы восстановления при фиксации управляющих параметров.

Рассмотрим более подробно решение задачи управления уровнем шума и разрешением восстановленного изображения. Уровень шума и размытость (дефокусировка) изображения определяются в основном регуляризирующим множителем Однако возможность регулировки компенсации искажения, т. е. варьирование параметром а, приводит к более гибкому восстановлению. Действительно, чем больше произведена компенсация тем больше возрастает шум в восстановленном изображении и, следовательно, необходимо более сильное действие регуляризирующего множителя, который одновременно сглаживает изображение. Поэтому на практике неполная компенсация искажений (выбор параметра а меньше единицы) позволяет в разумных пределах уменьшить требования на степень сглаживания шума и, следовательно, позволяет найти компромиссное решение. Описанная ситуация демонстрируется на рис. 2.3,б, на котором изображены частотные характеристики при управлении только регуляризирующим множителем и одновременном управлении параметрами Реализация фильтра (2.51) также весьма удобна при создании систем автоматизированной обработки изображений, так как варьирование параметров позволяет исследователю выбрать практически любой метод линейной реставрации. С другой стороны, наличие нескольких управляющих параметров представляет определенные трудности и требует создания интерактивных систем, в которых оператор ЭВМ может выбирать параметры в диалоговом режиме и получить серию реставраций, из которой выбирается наилучшая.

Рассмотрим еще один случай, когда использование эволюционного фильтра (2.51) имеет непосредственный физический смысл. Будем рассматривать искажение изображения при прохождении его через турбулентную среду, например атмосферу. Пусть весь слой атмосферы толщиной L (рис. 2.4) разбит на отрезков (слоев) толщиной Излучение, проходящее через атмосферу при длительной экспозиции, определяется сверткой с гауссовской весовой функцией, дисперсия которой зависит от толщины пройденного слоя. Частотная характеристика весовой функции атмосферы при прохождении К слоев равна:

где частотная характеристика при прохождении всей атмосферы. Пусть ставится задача компенсации искажений в присутствии шума. Тогда для каждого слоя при решении обратной задачи получим:

где некоторый регуляризирующий множитель, оптимальный для слоя. Последовательному восстановлению изображения на слое соответствует использование фильтра с передаточной функцией вида (2.51). При приближении к верхней границе среды мы, с одной стороны, получаем все менее искаженное изображение, а с другой стороны, вынуждены усиливать сглаживание решения, так как от слоя к слою шум усиливается. Легко представить, что оптимум находится где-то в слоях, не дошедших до верхнего края среды, т. е. восстанавливая изображения, которые частично искажены, но сдерживая при этом резкое возрастание шума, можно добиться более высокого качества восстановления.

Рис. 2.4. Модель распространения излучения через атмосферу