Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.2. МЕТОД МАКСИМУМА ЭНТРОПИИЭнтропия определяется как среднее значение собственной информации ансамбля
Метод максимума энтропии, аналогично методу максимума информации, строится на поиске среди всех возможных распределений вероятностей такого, которое обладает максимальной энтропией вида (3.19). Таким образом, критерий максимума энтропии используется для снятия неопределенности решения, а функционал (3.19) выступает как своеобразная «мера качества» изображения [94, 104]. Смысл такой меры качества можно понять, обратившись к задаче оценивания плотностей распределения вероятностей в математической статистике. В случае известных моментов случайного распределения оценка, получаемая максимизацией выражения (3.19), является наименее смещенной из всех возможных оценок. Можно ожидать, что максимум (3.19) при наложенных ограничениях на процесс формирования изображения будет давать хорошую оценку плотности распределения. Попытаемся рассмотреть процесс формирования изображения и выяснить физический смысл критерия максимума энтропии. Пусть суммарная интенсивность источника равна
Теперь найдем такое распределение, которое будет сформировано в наибольшем числе случаев
Заменив
Для решения задачи необходимо учесть также ограничения на уравнения формирования:
а также ограничение на суммарную интенсивность изображения, т. е.
Выражения Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся форм записи метода максимума энтропии. Будем рассматривать одновременно с формированием изображения параллельное формирование шумового поля
На основании приведенных рассуждений получим, что шумовое поле может быть создано
Для решения задачи необходимо максимизировать совместную вероятность формирования изображения и шумового поля [75, 94]
Логарифмирование этого выражения дает сумму энтропий шума и изображения:
Учитывая ограничения на процесс формирования и сохранение числа лучей (суммарную интенсивность), получим следующую задачу оптимизации:
где величины и
Подставляя выражения для
Из уравнений вида (3.28) определяются множители Лагранжа
Экспонента в (3.29) обеспечивает положительность решения Выражению для энтропии в форме (3.19) существует альтернатива, предложенная Бургом для оценок спектров мощности [60]. Эта форма энтропии имеет следующий вид:
Метод восстановления на основе выражения (3.30) также можно использовать в практике обработки изображений. Пусть нам известны зашумленные отсчеты спектра
где
Тогда для нахождения решения требуется максимизировать более простой функционал:
Необходимо отметить, что в последнее время появилось большое число алгоритмов на основе как (3.19), так и (3.30), использующих при этом самые разнообразные ограничения, вытекающие из постановки каждой конкретной задачи. Правда, наличие двух норм энтропии вызывает некоторое сомнение, во-первых, из-за того, что неясно, какую из них использовать на практике, а во-вторых, из-за недостаточно четкой постановки задачи восстановления. Существует еще одна интересная особенность алгоритмов, основанных на поиске максимума энтропии. Обратимся к выражениям (3.27)-(3.29) для случая идеальной системы формирования, но при наличии аддитивного шума
а оценка шума будет:
В практических приложениях для избежания этого эффекта выражение для энтропии шума берут с некоторым весовым коэффициентом
Этот прием, однако, оставляет неясным физический смысл производных преобразований. Еще один недостаток метода максимума энтропии состоит в том, что наилучшие результаты с его помощью получаются при восстановлении объектов, состоящих из отдельных импульсов на однородном фоне, а попытки применения метода к пространственно протяженным объектам вызывают появление флуктуаций [60]. Изложенные результаты, касающиеся методов максимума энтропии и максимума информации, могут быть объединены в единую схему, основанную на построении алгоритмов оценивания плотности распределения с помощью метода максимального правдоподобия. Тем самым рассмотренные алгоритмы можно включить в группу методов статистической регуляризации, описанных в § 2.4. Отличие лишь в том, что эти алгоритмы основаны на другой статистической модели — представлении самого изображения как плотности вероятности. Такая модель сразу же приводит к нелинейности рассматриваемых функционалов [98]. Однако отмеченные ранее недостатки заставляют искать алгоритмы, которые, сохраняя преимущества теоретико-информационных методов восстановления (неограниченность по полосе частот, неотрицательность решения и т. п.), позволяют восстанавливать более широкий класс изображений.
|
1 |
Оглавление
|