ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

2.1. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А. Н. ТИХОНОВА

Так как вследствие некорректности задачи восстановления изображений нельзя получить точное решение основного интегрального уравнения, устойчивое к малым изменениям исходных данных, следует искать некоторое приближенное решение. Такое решение можно найти, ограничивая тем или иным способом полосу частот сигнала и отбирая какое-то одно приемлемое решение из всех возможных. Однако при произвольном выборе способа получения приближенного решения очень легко исказить результат.

Стремление избавиться от произвольных факторов и определить общие методы решения некорректно поставленных задач привело к разработке новых решений. Фундаментальное значение для новых решений имеют понятия регуляризации решения и регуляризующего оператора, введенные еще в 1943 г. А. Тихоновым [53].

Регуляризация решения состоит в построении семейства обратных операторов, зависящих от некоторого числового параметра называемого параметром регуляризации. Каждый оператор семейства дает решение корректной задачи, причем при согласованном стремлении к нулю параметра а и ошибки исходных данных решение корректной задачи стремится к истинному решению соответствующей некорректной задачи.

Иначе говоря, если в некорректной задаче вместо точной правой части мы имеем элемент для которого элемент можно определить с помощью оператора, зависящего от параметра а, значения которых надо брать согласованными с погрешностью у исходных данных .

Эта согласованность должна быть такой, что при приближении правой части к точному значению (при приближенное решение стремилось бы к искомому точному решению (в метрике пространства F). Таким образом, идея регуляризации сводится к поиску такого

оператора который, действуя на правую часть уравнения приводит к решению

которое не слишком сильно отличается от точного решения. Физический смысл регуляризации, следовательно, заключается в разумном введении неоднозначности решения, заведомо не превосходящей определенных границ.

Оператор зависящий от параметра называется регуляризирующим для уравнения если он обладает следующими свойствами:

оператор определен для всякого и любого и непрерывен по

существует такая функция от и для любого существует такое число что если то где

При решении задачи получения приближенного решения уравнения устойчивого к малым изменениям правой части, метод регуляризации А. Н. Тихонова сводится, во-первых, к нахождению регуляризирующих операторов и, во-вторых, к определению параметра регуляризации а по дополнительной информации о задаче.

Главной особенностью метода регуляризации А. Н. Тихонова, отличающей его от других общих методов решения некорректно поставленных задач [20, 31], является его применимость в ситуации, когда класс возможных решений уравнения не является компактом. Эта ситуация как раз характерна для задач восстановления изображений, в которых обратный оператор основного интегрального уравнения заведомо не является непрерывным.

Построение регуляризующих операторов по методу А. Тихонова основано на вариационном принципе и состоит в следующем. Пусть некоторый неотрицательный функционал, определенный на подмножестве множества и такой, что для всякого числа множество элементов из для которого является компактом на Функционалы обладающие такими свойствами, называются стабилизирующими функционалами. Вполне понятно, что выбор функционала неоднозначен.

Пусть далее известно, что и уклонение правой части от точного значения не превосходит т. е. Тогда приближенное решение естественно искать в классе элементов для которых класс возможных решений слишком широкий. Его надо сузить, используя какой-то принцип отбора решений, обеспечивающий получение в качестве приближенного решения

такого элемента (или элементов) из который непрерывно зависел бы от 7. В качестве такого принципа и берется вариационный принцип [53].

Обычно рассматриваются только такие элементы множества для которых определен заданный функционал и рассматриваются лишь элементы, принадлежащие множеству Среди элементов этого множества находят такой (такие), который минимизирует функционал Нахождение этого элемента — задача на условный экстремум. Решение ее методом неопределенных множителей Лагранжа сводится к поиску минимума функционала

где числовой параметр а определяется из условия элемент, на котором функционал (2.1) достигает минимума.

Элемент а можно рассматривать как результат применения к правой части исходного уравнения некоторого оператора зависящего от параметра а, т. е. Доказано, что оператор является регуляризирующим и, следовательно, в качестве приближенного решения уравнения с правой частью можно взять элемент

Таким образом, приближенное решение исходной задачи заменяется решением другой задачи (задачи на минимум функционала близкой к исходной при малых значениях погрешности задания правой части . В то время как исходная задача не обладает устойчивостью к малым изменениям входных данных задача минимизация функционала обладает этим свойством. Устойчивость достигнута сужением класса возможных решений с помощью введения в рассмотрение функционала играющего стабилизирующую роль. Поэтому функционалы называют стабилизаторами задачи.

В случае, когда множество функций непрерывных на конечном отрезке множество функций, имеющих производные до порядка и интегрируемых с квадратом, в качестве стабилизатора можно взять

где заданные неотрицательные функции.

Функционалы вида (2.2) называют стабилизаторами порядка. Функционалы этого вида, по существу,

харастеризуют «гладкость» функции Следовательно, используя их при поиске минимума выражения (2.1), мы стремимся выбрать из множества функций удовлетворяющих условию некоторую «самую гладкую» функцию (во всяком случае более гладкую, чем решение без регуляризации). Различным критериям гладкости, позволяющим сравнивать функции рассматриваемого множества, отвечают различные функционалы (2.2), образуемые при различных Степень «сглаживания» решения регулируется параметром а.

Перейдем теперь к применению метода регуляризации для решения основного интегрального уравнения вида (1.9):

полагая, что восстанавливаемое изображение непрерывно на . Воспользуемся для простоты выкладок стабилизатором 1-го порядка

Тогда регуляризованное решение должно минимизировать функционал

Условием минимума функционала (2.3) является равенство нулю его первой вариации (уравнение Эйлера):

Здесь произвольная вариация функции такая что сумма принадлежит классу допустимых

функций, а функции определяются выражениями

Условие (2.4) выполняется, если

Если известны значения искомого решения уравнения (1.9) на обоих концах отрезка то допустимыми функциями при нахождении минимума функционала (2.3) будут лишь такие из множества функций, интегрируемых с квадратом и имеющих обобщенную первую производную, которые принимают заданные значения в точках . В этом случае функции должны обращаться в нуль при и условие (2.6) будет выполнено.

Таким образом, задача определения регуляризованного решения в рассматриваемом случае сводится к нахождению решения интегродифференциального уравнения (2.5) с краевыми условиями где известные числа. Если значения искомого решения на концах отрезка неизвестны, тогда условию (2.6) можно удовлетворить, полагая Возможны и другие краевые условия, которым удовлетворяет решение уравнения (2.5).

Если при решении уравнения (1.9) пользоваться стабилизаторами порядка, то уравнение Эйлера для функционала будет иметь вид:

Уравнения вида (2.5) и (2.7) с заданными краевыми условиями решаются численно на ЭВМ. При численном решении эти уравнения заменяются их конечно-разностной аппроксимацией на заданной сетке. Если брать равномерную сетку с шагом то уравнение (2.5), например, заменяется системой конечно-разностных уравнений вида

Здесь причем коэффициенты квадратурной формулы, с помощью которой интеграл в уравнении (2.5) заменяется интегральной суммой (обычно это просто отсчеты функции в опорных точках, взятые с весовыми коэффициентами, зависящими от вида используемой квадратурной формулы).

Матричная форма записи уравнения позволит получить регуляризованное решение в явном виде. Если в качестве квадратурной формулы для интеграла в основном уравнении (1.9) применяется правило трапеций, а производная аппроксимируется с помощью первой конечной разности по формуле

и используются стабилизаторы первого порядка с постоянными коэффициентами то функционал (2.3) можно записать в следующем виде:

где векторы, полученные дискретизацией наблюдаемой функции и восстанавливаемого изображения на сетках с шагом матрица отсчетов весовой функции в опорных точках (для уравнения типа свертки теплицева матрица); I — единичная матрица; ленточная квадратная матрица, элементы которой определяются так, что квадратичная форма является конечно-разностным аналогом интеграла от квадрата первой производной Так как то матрицу можно записать в виде произведения где матрица представляет оператор вычисления первой конечной разности. Иначе говоря,

Для того чтобы найти вектор минимизирующий функционал (2.9), вычислим градиент этого функционала по пользуясь следующими формулами векторного дифференцирования:

и приравняем градиент к нулю. Полагая для простоты получим уравнение

из которого находим регуляризованное решение в явном виде

Это решение отвечает случаю применения стабилизаторов 1-го порядка. В более общем случае регуляризованное решение уравнения где вектор шума, можно найти, исходя из следующих соображений. Будем оценивать степень гладкости решения произвольной квадратичной формой где некоторая квадратная матрица, такая, что чем меньше величина тем более гладкой является функция Из всего множества решений этого уравнения будем выбирать наиболее гладкое решение, оставляя при этом ограниченной величину характеризующую дисперсию шума. Это типичная вариационная задача с ограничением: найти минимум функционала при ограничении Решив эту задачу методом Лагранжа, найдем минимум функционала где k — множитель Лагранжа. Составим выражение для градиента используя формулы дифференцирования (2.10), и, учитывая, что согласно матричному представлению основного интегрального уравнения получим уравнение

решением которого будет

где .

Такое решение иногда называют решением по методу обусловленных наименьших квадратов [75]. Вполне понятно, что различным матрицам отвечают различные стабилизаторы соответствующей непрерывной задачи. Например, при из (2.12) получаем решение (2.11) с стабилизаторами 1-го порядка. Другим примером может служить метод Филлипса, в котором критерием гладкости решения является норма второй производной функции, где стабилизатором задачи является функционал

получаемый из (2.2) при

Из (2.12) легко видеть, как влияет параметр -а на решение. При получаем оценку вектора восстановленного изображения по методу наименьших квадратов, которая для квадратной матрицы совпадает с оценкой по методу инверсной фильтрации: Но такое решение неустойчиво к малым изменениям вектора При увеличении а второй член в квадратных скобках правой части (2.12) начинает сглаживать решение делая его устойчивым к ошибкам наблюдаемой функции. Однако при больших значениях а решение может оказаться слишком сглаженным. При например, мы получим решение в виде функции, тождественно равной нулю.

Значение величины а зависит от изображения, подлежащего восстановлению, и от уровня шума в принимаемом изображении. Известны различные способы определения параметра регуляризации а. Все они зависят от той информации, которая имеется относительно приближенных входных данных. Во многих случаях известно число у, характеризующее шум в изображении, и задача состоит в том, чтобы найти отвечающее ему значение из множества допустимых значений, т. е. таких, для которых оператор является регуляризующим. Тогда параметр регуляризации можно определить но «невязке» из соотношения Часто это делается методом проб и ошибок. В зависимости от дополнительной априорной информации, которая имеется относительно правой части исходного уравнения, возможны и другие способы выбора параметра а. Например, если мы знаем приближенное значение функционала характеризующего степень гладкости восстанавливаемого изображения, то хорошей оценкой а служит величина, обратная Эффективность того или иного способа определения величины

обычно устанавливается с помощью вычислительного эксперимента.

Следует отметить, что метод регуляризации А. Н. Тихонова требует минимума априорной информации о задаче. Практически используется лишь информация о характере гладкости решения и о том, что восстанавливаемое изображение задано на отрезке Дополнительная информация, если она имеется, используется для определения конкретного значения параметра регуляризации [31].