1.5. БОРЬБА С ПОМЕХАМИ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Ранее было показано, что устраняя те области спектра, в которых происходит усиление шумов, влияние помех можно уменьшить. Для рассмотрения более общих путей борьбы с помехами, представим процесс формирования изображения и его последующего восстановления в виде последовательного соединения двух линейных систем (рис. 1.10) Для упрощения рассуждений допустим, что обе эти системы описываются уравнениями типа свертки.

На выходе последней системы (рис. 1.10,а) имеем

где - весовая функция прибора, осуществляющего восстановление (восстанавливающего фильтра), а -изображение на выходе системы формирования:

Фурье-образ функции есть передаточная функция восстанавливающего фильтра. Подставляя (1.64) в (1.63), получаем формулу, связывающую Воспользовавшись свойством ассоциативности свертки, находим

где - суммарная (общая) весовая функция последовательности систем формирования и восстановления изображений, равная

Из (1.65) ясно, что точное восстановление изображения, когда возможно только при т. е. при условии

Применяя к обеим частям равенства (1.67) преобразования Фурье,

Рис. 1.10. Схема процесса восстайовления Изображения. а — последовательное соединение систем приема и восстановления, — суммарная система

Рис. 1.11. Передаточные функции восстанавливающих фильтров при различных методах борьбы с помехами: а — последовательное ограничение полосы частот восстанавливающего фильтра; б — умножение передаточной функции инверсного фильтра на последовательность множителей

получаем Следовательно, случаю точного восстановления соответствует передаточная функция восстанавливающей системы вида

Фильтр с передаточной функцией (1.68) будем называть инверсным фильтром, а соответствующий процесс обработки сигнала — инверсной фильтрацией.

Если не ограничивать полосу частот инверсного фильтра, то при граничная частота, при которой функция стремится к бесконечности (рис. 1.11). Это приводит к бесконечному усилению шума и, как следствие, возникает неустойчивость решения.

Ограничение полосы частот фильтра промежутком меньшим интервала (см. рис. 1.11,а), эквивалентно соответствующему ограничению пределов интегрирования в (1.52) или умножению передаточной функции инверсного фильтра в подынтегральном выражении этой формулы на индикаторную функцию отрезка

где

Изменяя значения можно менять соотношение между качеством восстановления изображения и величиной шума. При этом улучшение качества восстановления при увеличении автоматически будет приводить к росту случайной ошибки.

Однако степень приближения к точному восстановлению мы можем регулировать умножением в подынтегральном выражении (1.52) не на индикаторную функцию а на некоторую функцию достаточно быстро убывающую при увеличении со, такую, что интеграл

не расходится при Этим способом можно также бороться и с неединственностью решения, возникающей при обращении в нуль функции в некоторых точках, внутри интервала приписывая отношению конечные значения в тех точках, где равна нулю.

Отметим, что умножение передаточной функции инверсного фильтра на соответствует отысканию сглаженного решения

связанного с идеальным решением выражением

где - результат обратного преобразования Фурье от - весовая функция инверсного фильтра Подходящим выбором функции можно регулировать степень сглаживания решения, меняя параметры этой функции. Более того, таким путем мы можем составить последовательность суммарных весовых функций

стремящихся к -функции при таких, что последовательность соответствующих устойчивых «сглаженных» решений

при определенных условиях будет равномерно сходиться к .

Эти условия сводятся, в основном, к тому, что все функции должны принадлежать причем должны быть ограниченными и иметь ограниченную первую производную.

В качестве последовательности функций для решения практических задач можно брать различные семейства функций, сходящиеся к при соответствующей нормировке. Например, можно использовать последовательность

где при . В этом случае

и при передаточная функция восстанавливающего фильтра стремится к инверсной передаточной функции причем с увеличением рост приводящий к неустойчивости решения, замедляется.

При выборе формы суммарных весовых функций подбором множителей в подынтегральном выражении (1.69) часто требуется не только хорошая аппроксимация функции функциями с увеличением , но и такое «сгибание» этой функции, при котором в наиболее тяжелых условиях, когда передаточная функция восстанавливающего фильтра стремится к нулю (рис. 1.11,б). Это необходимо для того, чтобы не получить большого усиления помехи. Если последовательность точек перегиба функций при этом будет стремиться к то можно достичь высокого качества восстановления сигнала. Однако если точка перегиба будет находиться далеко от точки то данное решение может оказаться слишком сглаженным.

Рис. 1.12. Передаточные функций: а — системы формирования изображения: б - универсного восстанавливающего фильтра при ограничении усиления; в — суммарной системы

Известны также различные эвристические методы борьбы с шумами, позволяющие на основе интуитивных соображений достичь компромисса между шумом изображения и степенью «сглаженности» решения Простейший из них предусматривает ограничение усиления инверсного фильтра в той области частот, где шум преобладает над сигналом (рис. 1.12). Этот метод соответствует применению восстанавливающего фильтра с передаточной функцией вида (рис. 1.12,б):

где величины определяются уровнем шума (рис. 1.12,а). Можно показать, что фильтру с передаточной функцией (1.70) соответствует нормированная весовая функция где есть фурье-образ функции а константа В рассчитывается из условия нормирования: общее усиление передаточной функции суммарной системы должно превышать единицы (рис. 1.12,в).

Характерно, что при использовании рассмотренных выше методов борьбы с помехами исследователь должен сам решать, когда следует

прервать процесс приближения руководствуясь теми или иными соображениями о реальном или шумовом происхождении возникающих после каждого нового приближения деталей изображения. Такая ситуация допустима, например, в задачах восстановления, когда форма объектов наблюдения известна хотя бы приблизительно. Для решения этих задач привлекаются оптико-электронные вычислительные комплексы содержащие ЭВМ и позволяющие работать в режиме диалога человека с машиной. Человек-оператор, пользуясь субъективным критерием качества изображения, может, например, остановить процесс поиска решения на том приближении, которое обеспечивает качество восстановления, достаточное для опознавания объекта, или, например, вернуться к предыдущему приближению, когда уровень шумов кажется слишком большим. Заметим, что только знание априорной информации дает оператору основание заключить, что, например, зернистость на фотоснимке не имеет никакого отношения к снятой сцене и вызвана просто несовершенством фотопроцесса. Точно так же он знает, что штрих на фотоснимке небосвода отображает звезду, переместившуюся за время экспозиции, а не принадлежит какому-то неопознанному объекту штриховидной формы.

Однако достаточная априорная информация о классе восстанавливаемых сигналов во многих случаях отсутствует. В качестве примера

Можно указать на задачи восстановления изображений объектов неизвестной формы в астрономии. В этих случаях нельзя пользоваться субъективными критериями качества восстановления и потому необходимы регулярные процедуры поиска устойчивых решений.