2.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Классическая постановка задачи оптимальной линейной фильтрации сигналов формулируется следующим образом Наблюдается реализация случайной функции которая была получена в результате применения некоторого оператора к случайному входному сигналу (изображению) Предполагается, что оператор учитывает и действие шума. Статистические характеристики наблюдаемого и входного изображения считаются известными. Требуется найти весовую функцию линейного фильтра, предназначенного для такой обработки полученного изображения, чтобы на выходе фильтра формировалось изображение имеющее наименьшее уклонение (в той или иной вероятностной метрике) от некоторого желаемого изображения (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Схема оптимальной линейной фильтрации

Если статистические характеристики рассматриваемых случайных процессов представлены в виде корреляционных и взаимокорреляционных функций (для сигналов с гауссовскими плотностями такое описание является исчерпывающим), а уклонение функций оценивается средним квадратом ошибки, то сформулированная задача сводится к виперовской фильтрации. Запишем функционал среднего квадрата ошибки:

Полагая, что изображения — вещественные функции, заданные на всей оси, и используя правила вычисления математических ожиданий случайных процессов с учетом связи входа и выхода фильтра

из (2.27) получим

где корреляционные функции процессов соответственно; взаимокорреляционная функция этих процессов:

Если составить выражение для градиента функционала (2.29) и приравнять его нулю, то окажется, что минимум этого функционала при варьировании определяется решениями уравнения

Уравнение (2.30), выражающее условие оптимальности (минимум средней квадратической ошибки), называется уравнением Винера — Хопфа [59]. В справедливости достижения этого условия можно убедиться непосредственным вычислением, подставив (2.30) обратно в (2.29).

Предположим, что оператор дает однородное отображение функций (является оператором, коммутирующим со сдвигами), стационарные процессы. Тогда результат оптимального взвешивания наблюдаемого изображения линейным фильтром должен зависеть только от одной переменной, так что оптимальным является фильтр с весовой функцией вида Поэтому условие (2.30) для стационарных процессов принимает вид

Заменяя переменные в формулах и учитывая свойства корреляционных функций получаем

Из выражения (2.32) с помощью преобразования Фурье легко находится передаточная функция оптимального фильтра

где - взаимная спектральная плотность мощности процессов — спектральная плотность мощности процесса

Схемы восстановления изображений при различных вариантах смеси сигнала и шума показаны на рис. 2.2.

Обычно предполагается наличие аддитивного шума Считается также, что сигнал и шум статистически независимы, т. е. значение

Рис. 2.2. (см. скан) Схемы восстановления сигналов методом оптимальной фильтрации: а — при аддитивном шуме; б - аддитивном шуме и случайной передаточной функции

шума в изображении не зависит от его яркости. В этом случае на вход фильтра поступает функция:

Вычисляя для этого случая корреляционные функции, входящие в уравнение (2.32), получаем

где — корреляционная функция входного изображения .

Применяя преобразование Фурье к вычисленным корреляционным функциям, находим

где - спектральные плотности мощности входного сигнала и шума соответственно. Подставляя (2.36) и в (2.33), получим передаточную функцию оптимального восстанавливающего фильтра

полностью совпадающую с (2.25).

Функция в (2.37) является обратной к отношению сигнал/шум Таким образом,

Следует отметить, что формула передаточной функции оптимального фильтра (2.38) определяет различные семейства линейных регуляризующих операторов. Каждое такое семейство задается выбором стабилизатора удовлетворяющего перечисленным в § 2.2 условиям. Поэтому можно утверждать, что среди всех функций существует такая функция при которой однопараметрическое семейство регуляризующих операторов а) содержит в себе оператор оптимальной фильтрации Винера. Это означает, что оператор оптимальной фильтрации непрерывен по на всякой заданной точной правой части и устойчив к ее малым изменениям.

Для практических задач восстановления изображений здесь представляет интерес возможность заменить оператор оптимальной фильтрации на близкий к нему, более простой оператор, используя для его построения информацию, меньшую, чем информация о характере поведения энергетических спектров изображения и шума. Такая возможность следует из того, что малым уклонениям функции от отвечают малые уклонения регуляризованного решения от оптимального.

Смысл оптимальной линейной фильтрации виден из рассмотрения функционала среднего квадрата ошибки, записанного в частотной области:

Первый член в этом выражении дает систематическую ошибку, обусловленную неполной компенсацией действия системы формирования, а второй — шумом, возникающим на выходе фильтра. В тех частотных участках, где спектральная плотность мощности наблюдаемого изображения велика по сравнению со спектральной мощностью шума, оптимальный фильтр близок к инверсному: . В тех же участках, где относительно велика, оптимальный фильтр вносит дополнительное затухание. Заметим, что согласно (2.37) и (2.39) минимальное значение среднеквадратической ошибки равно

Во многих случаях точно не известна. Так, например, обстоит дело при прохождении входного изображения через случайный канал. В этом случае естественно предположить, что весовая функция системы для конкретного случайного искажения является реализацией из некоторого ансамбля случайных весовых функций и необходимо искать фильтр, минимизирующий среднеквадратическую ошибку по ансамблю реализаций. Подобный фильтр будет квазиоптимальным в смысле его пригодности только к ансамблю получаемых изображений.

После вычисления требуемых корреляционных функций с учетом случайного характера и подстановки соответствующих им спектральных плотностей в (2.23) получим:

Формула (2.41) аналогична (2.37). Различие заключается лишь в использовании усредненных характеристик системы формирования изображений. Можно наглядно представить этот результат, если записать средний квадрат модуля передаточной функции как сумму квадрата среднего случайной передаточной функции и ее дисперсии Тогда (2.41) имеет вид:

Мы получим передаточную функцию оптимального фильтра, построенного в соответствии с (2.37) для усредненной системы формирования и дополнительного аддитивного шума, имеющего спектральную плотность мощности Это показывает, что если анализируется неточность знания передаточной функции то ошибки в ее задании должны проявляться на выходе восстанавливающего фильтра так же, как и шум в наблюдаемом изображении.

В работе [8] можно найти выражения для частотных характеристик фильтров, выполняющих оптимальную фильтрацию для случая мультипликативного шума и комбинированного варианта: случайной передаточной функции и мультипликативного шума.

В заключение отметим один из основных результатов теории оптимальной фильтрации сигналов. Линейный фильтр, весовая функция которого определяется из уравнения Винера — Хопфа (2.30), является наилучшим среди всех возможных фильтров, когда осуществляется фильтрация по критерию минимума средней квадратической ошибки гауссовского случайного процесса из аддитивной смеси с гауссовскими шумами. Это, по существу, означает, что для изображений винеровская фильтрация не является оптимальной, так как предположение о гауссовском характере распределения значений яркости часто не выполняется. Кроме того, необходимо помнить о важном свойстве изображений — их неотрицательности. Это обстоятельство также не учитывается в линейных методах восстановления.