7.5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

При выборе алгоритма восстановления целесообразно руководствоваться соображениями допустимого времени вычислений, степени искажения изображения, доступности априорной информации, - уровня шума в искаженном изображении.

Допустимое время вычислений. Если исследователь располагает неспециализированной аппаратурой на базе универсальной ЭВМ и не имеет возможности использовать матричные процессоры и БПФ-процессоры либо оптические вычислительные устройства, то время вычислений является очень важным фактором, сдерживающим возможности использования нелинейных и итерационных алгоритмов. Мини-ЭВМ со средним быстродействием (сотни тысяч операций в секунду) выполняет преобразование Фурье кадра 128X128 элементов за десятки секунд, причем с

учетом времени обращения к диску это время возрастает, так что даже линейная фильтрация занимает несколько минут. Это обстоятельство заставляет ограничиваться преимущественно линейными алгоритмами восстановления. Если существует возможность использойания значительного машинного времени, становится возможным использование нелинейных и итерационных алгоритмов. Характерные оценки времени вычислений для изображения с разложением лишь на 64X64 элементов составляют десятки минут. Но на такое время обработки можно пойти лишь при обработке единичных изображений небольшого формата, так как в случае большого потока данных производительности вычислительной системы не хватает.

Ситуация меняется в случае использования оптико-цифровых и специализированных цифровых систем. Современные БПФ-процессоры выполняют преобразование Фурье изображения формата 512X512 элементов за 0,5 с. Если используется оптическая система, сопрягаемая с цифровой частью, время реализации итерационных алгоритмов для большого формата, скажем, 1024X1024 элементов может составлять десятки секунд. Те же аргументы относятся и к реализации нелинейных алгоритмов.

Степень искажения изображения. В некоторых случаях искажения могут быть достаточно слабыми, т. е. характерный размер весовой функции системы мал по сравнению с размерами изображения. В этих случаях обычная линейная фильтрация может оказаться эффективным средством решения задачи. Противоположным случаем является случай дифракционного ограничения, когда спектр весовой функции уже спектра изображения и часть информативных частот изображения отрезана. Возникающая задача должна решаться только нелинейными алгоритмами.

Доступная априорная информация. В различных задачах могут быть известны различные характеристики изображения. Минимально необходимой характеристикой такого рода является неотрицательность решения. В зависимости от того, какая информация нам доступна, можно строить различные схемы восстановления.

Уровень шума в искаженном изображении. Искаженные изображения всегда в той или иной степени зашумле-ны. В зависимости от уровня шума удовлетворительно работают различные алгоритмы восстановления. При отношениях сигнал-шум порядка 1000 по амплитуде качественное восстановление дает обычная инверсная фильтрация. При отношении сигнал-шум, равном 100, удовлетворительно

работает оптимальная линейная фильтрация [93]. При более низких отношениях сигнал-шум удовлетворительные результаты получают только с помощью нелинейных методов, границей применимости которых является уровень отношения сигнал-шум, равный 3—5 [75]. При решении задачи экстраполяции спектра требования к отношению сигнал-шум ужесточаются, по крайней мере, в 10 раз [140]. Количественные оценки влияния ограничений на допустимый уровень шума в сигнале в настоящее время не получены.

Подводя итоги, напомним основные сведения справочного характера по алгоритмам, описанным в этой книге.

Линейные алгоритмы. Достоинством их является простота реализации, недостатком — невозможность экстраполяции спектра и несогласованность с неотрицательностью решения (см. гл. 2). Линейные алгоритмы сводятся к нахождению некоторого линейного оператора, действующего на искаженное изображение . Устойчивое решение задачи линейного восстановления достигается на основе тихоновской регуляризации в матричном виде:

или, для уравнения свертки в спектральной области:

где -стабилизатор задачи. Фильтровое представление позволяет использовать управляемую фильтрацию, которая сводится к варьированию некоторых параметров и управлению качеством изображения. Можно рекомендовать следующую структуру управляемого восстанавливающего фильтра:

где Эта структура позволяет при фиксации параметров получать различные варианты линейной фильтрации и удобна при реализации на ЭВМ в цифровом виде (см. § 2.6).

Нелинейные алгоритмы. К достоинствам этих алгоритмов можно отнести их значительную универсальность, возможность регуляризации и включения самой различной априорной информации о решении, а также возможность экстраполяции спектра в случае сильных искажений и значительных шумов. Недостатком алгоритмов является сложность программирования задачи, медленная скорость

вычислений и отсутствие гарантированных приемов обеспечения сходимости. Нелинейные алгоритмы заключаются в решении задачи минимизации функционала

где — функционал-критерий задачи, — функционал ограничений, — стабилизирующий функционал. Решения могут быть найдены путем решения системы нелинейных уравнений или методами прямой оптимизации градиентного вида. Решение этой задачи для изображения 256X256 элементов требует уже десятков часов машинного времени на универсальной ЭВМ.

Итерационные алгоритмы. Они представляют собой альтернативу методам нелинейного программирования. К достоинствам итерационных алгоритмов можно отнести возможность учета нелинейных ограничений, регуляризации и обеспечения сходимости задачи. Недостатком алгоритмов является большая чувствительность к шуму по сравнению с нелинейными алгоритмами, медленная сходимость и возможность включения в восстанавливающую схему более узкого класса ограничений, чем для нелинейных алгоритмов. Итерационные алгоритмы имеют однако важные практические преимущества — простоту программирования и реализации в оптических и оптико-цифровых системах (см. гл. 8). Реализация итерационных алгоритмов сводится к выполнению последовательности приближений (4.37)

Для уравнения свертки эти приближения выглядят следующим образом:

где стабилизирующий оператор, весовая функция системы, — ускоряющий параметр, — оператор ограничений вида (см. гл. 4).

Среднее время вычислений итерационными методами приблизительно совпадает со временем вычислений методами нелинейного программирования — десятки минут для изображения 64X64 элемента и часы для больших форматов (на универсальной ЭВМ).

Таким образом, решая конкретную задачу, исследователь должен оценить возможности вычислительной системы, степень искажений, доступную априорную информацию, желаемое качество решения и на основе этих оценок выбрать алгоритм для решения задачи.

В заключение рассмотрим результаты моделирования различных алгоритмов, описанных в книге, для одного и того же тест-объекта, приведенного на рис. 7.7,.а. Размер изображения — 64X64 элемента; задача решалась на универсальной ЭВМ производительностью около 600 000 приведенных операций/с. Изображение на рис. 7.7,а состоит из плоской площадки нулевой интенсивности и группы импульсов различной протяженности и амплитуды. Искаженное изображение представлено на рис. 7.7,б. Это результат свертки с гауссовской функцией, характерные размеры которой превышают характерный размер среднего импульса на рис. 7.7,б; отношение верхней частоты в спектре изображения к верхней частоте передаточной функции системы формирования составляет около 4, так что приблизительно 3/4 спектра на высоких частотах срезано. К изображению добавлен гауссовский шум. На рис. 7.7,в приведен типичный результат линейного восстановления изображения — линейный алгоритм не может востановить исчезнувшие или сильно подавленные частоты, поэтому мы получаем практически усиленное по амплитуде искаженное изображение со сглаженным шумом, содержащее частоты до частоты среза системы формирования. Попытка ослабить регуляризацию и за счет этого повысить разрешение в таком варианте приводит лишь к усилению шума с решении (рис. 7.7,г). На рис. 7.7,д приведен результат восстановления итерационным алгоритмом с ограничением по положительности и сильной регуляризацией процесса выбран с таким расчетом, чтобы значительно ослабить высокочастотные компоненты в решении). Отметим, чтобы получить это решение потребовалось 300 итераций, однако хорошо разрешены пики и отсутствуют флуктуации на плоских участках. На рис. 7.6,б приведен результат, полученный итерационным алгоритмом аналогичным предыдущему, но с ослабленной регуляризацией (число итераций равно 80). Отметим, что разрешение и амплитуда пиков повысились и приблизились к истинному изображению, однако на плоских участках возникли осцилляции шумового характера. Наконец, на рис. 7.7,ж показано решение, полученное минимизацией нелинейного функционала с тихоновской регуляризацией. Число итераций равно 40, однако за счет сложности вычислений требовалось приблизительно то же время, что и для предыдущего примера. По сравнению с рис. 7.7,е можно отметить приблизительно такое же разрешение и ту же амплитуду пиков, но отсутствие осцилляций на плоских участках решения. Таким образом, в смысле устойчивости

(кликните для просмотра скана)

нелинейный алгоритм можно считать предпочтительным перед итерационным. На рис. 7.7,з показаны спектры одной из строк оригинала (верхняя кривая), весовой функции системы (самая нижняя гауссовская кривая) и решений методами итерационных алгоритмов и нелинейной оптимизации с ограничением на положительность (две промежуточных кривых); аналогичные кривые для другой строки приведены на рис. 7.7,б. Мы видим, что в спектре решения появляются новые частоты за частотой среза системы формирования. Доля этих частот однако значительно ослабевает по мере удаления от частоты среза системы. Можно отметить также качественную идентичность экстраполяции спектра при помощи обоих методов — кривые идут практически рядом, что подтверждает предположение об идентичности различных алгоритмов с ограничениями на положительность решения. Спектр решения, получаемого на основе минимизации нелинейного функционала, однако, как правило, более гладок, а спектр, полученный итерационным алгоритмом, как бы «навивается» на него. Далее на решение было наложено ограничение на модуль спектра, который априорно известен. Результат восстановления итерационным алгоритмом с регуляризацией показал на рис. . Отметим, что при том же числе итераций (равном 80) по сравнению с рис. 7.7,е произошло подавление флуктуаций на плоских участках и повысилось разрешение. Однако при ослаблении требований на регуляризацию задачи решение перестает быть устойчивым (рис. 7.7,л) -амплитуда и крутизна пиков повышаются, но их пространственное расположение случайным образом перестраивается от точки к точке. Результаты, аналогичные рис. дает и прямое использование алгоритма Фиенупа. Решение задачи минимизации функционала с ограничениями на автокорреляцию в этом смысле более устойчиво (см. рис. 7.7,ж). Здесь в общей схеме минимизации член с множителем Лагранжа взят с весом 0,4; недостатком реставрации на рис. 7.7,ж является появление осцилляций на плоских участках изображения.

Обратимся еще раз к рис. 7.7,а. Как и следовало ожидать, наилучшие результаты дают итерационные и нелинейные алгоритмы, способные экстраполировать полосу частот и учитывать ограничения, накладываемые на решение. Однако зная принципиальную неоднозначность задачи экстраполяции спектра при учете только ограничения на неотрицательность решения, трудно ожидать, что будет найден алгоритм, который дает гораздо лучшие результаты, чем описанные в этой книге. По-видимому, все решения такого рода эквивалентны между собой. Особое значение приобретает задача учета дополнительных ограничений, которые давали бы наилучшие результаты при наличии шума в решении. По-видимому целесообразно создавать комбинированный алгоритм, учитывающий априорную информацию о модуле спектра решения. Мы считаем, что должны быть найдены пути, позволяющие разработать методы, которые дали бы лучшие результаты, чем описанные нами.