ГЛАВА 8. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ОПТИЧЕСКИХ И ОПТИКО-ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ

8.1. ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Методы оптической обработки информации позволяют практически мгновенно выполнять операции умножения и преобразования Фурье комплексных функций двух переменных. Класс математических операций, которые могут быть реализованы с использованием только двух базовых операций, а именно, умножения и преобразования Фурье, оказывается довольно широким и включает в себя операции интегрирования и дифференцирования функций, свертки и корреляции, а также различные интегральные преобразования. Далее будет показано, что реализуемый оптическими средствами класс математических операций вполне достаточен для осуществления различных алгоритмов восстановления иозбражений.

Операция умножения комплексных функций с помощью оптических систем основана на модуляции когерентного светового потока, прошедшего через транспарант с заданным комплексным пропусканием, пространственными неоднородностями этого транспаранта. В простейшем случае

изменение прозрачности транспаранта соответствует амплитудной пространственной модуляции потока, а изменение показателя преломления транспаранта или его толщины (изменение поверхностного рельефа) — фазовой пространственной модуляции. Очевидно, что нормально падающая на транспарант монохроматическая световая волна с плоским волновым фронтом на выходе из транспаранта представляет функцию комплексного пропускания самого транспаранта. Такая же волна, прошедшая последовательно через два транспаранта, определяет произведение функций пропускания этих транспарантов. Таким образом, для того, чтобы осуществить умножение нескольких комплексных сигналов оптическим методом, достаточно преобразовать эти сигналы в соответствующие изменения амплитудного и фазового пропускания транспарантов, собрать эти транспаранты в «стопку» и осветить их параллельным монохроматическим пучком света. Пространственные изменения амплитуды и фазы выходной световой волны будут соответствовать произведению комплексных изображений. Для умножения вещественных сигналов достаточно использовать амплитудную часть функции пропускания, а фазу волны не модулировать.

Операция преобразования Фурье с помощью оптических систем базируется на основных результатах скалярной теории дифракции когерентных световых волн, согласно которым комплексная амплитуда поля в задней фокальной плоскости идеальной тонкой линзы пропорциональна результату двумерного преобразования Фурье от функции пропускания транспаранта, установленного в передней фокальной плоскости и освещенного когерентной волной [7, 16].

В гл. 2 было показано, что многие методы восстановления изображений можно реализовать с помощью линейных систем, выполняющих операцию свертки наблюдаемой функции с весовой функцией восстанавливающего фильтра

С практической точки зрения такие методы восстановления отличаются лишь формой весовой функции и способом вычисления интеграла свертки.

С помощью оптических вычислительных устройств легко осуществляются два основные способа вычисления

свертки: прямое интегрирование с весовой функцией и вычисление ее с помощью преобразования Фурье на основе теоремы о свертке.

Для того чтобы оптически выполнить операцию интегрирования функции с весовой функцией требуется зарегистрировать функции и на отдельных транспарантах, собрать эти транспаранты в «стопку» при относительном смещении их в параллельных плоскостях вдоль оси на величину и зарегистрировать интегральный световой поток, прошедший через оба транспаранта. В идеальном случае бесконечных линейных размеров транспарантов величина этого светового потока будет пропорциональна одному значению интеграла свертки, соответствующему смещению Для получения всех значений операции свертки необходимо осуществить регистрацию выходного потока при всех значениях относительного смещения транспарантов. Степень когерентности света в такой оптической схеме не играет роли.

Однако при когерентном освещении операция свертки выполняется как путем интегрирования с весовой функцией, так и с помощью преобразования Фурье. Покажем, что для реализации обоих способов вычисления свертки можно использовать одну и ту же оптическую систему, показанную на рис. 8.1. Эта оптическая система состоит из двух последовательно установленных элементарных оптических вычислительных устройств и содержит две идеальные линзы « с одинаковым фокусным расстоянием, равным . В плоскости установлен транспарант с записью функции (будем считать, что , а значение приходится на точку пересечения плоскости с оптической осью системы).

Рис. 8.1. Схема оптической системы для выполнения операции свертки функций

Пусть расстояния между плоскостями равны соответственно. Предположим сначала, что плоскости оптически сопряжены, т. е. что расстояния удовлетворяют условию фокусировки. Для определенности положим

Тогда в плоскости будет формироваться изображение предмета, находящегося в плоскости т. е. будет воспроизводиться функция комплексного пропускания транспаранта, умноженная на экспоненциальный множитель, характеризующий среднюю кривизну волнового фронта

Установим в плоскость маску-транспарант с записью функции и сдвинем ее относительно оптической оси системы на величину Тогда комплексное пропускание транспаранта будет Выберем расстояния так, чтобы оптическая система, расположенная справа от плоскости работала в режиме фурье-анализатора. Для этого положим

Комплексная амплитуда поля сразу за плоскостью равна произведению а в плоскости без учета экспоненциальных множителей, определяющих кривизну волновых фронтов в пространстве между плоскостями пропорциональна функции 00

Заменяя в (8.4) переменную и на по формуле видим, что в точке (на оптической оси системы) плоскости величина комплексной амплитуды поля пропорциональна значению интеграла свертки:

Для иллюстрации способа вычисления свертки в оптической системе рис. 8.1 при помощи преобразования Фурье положим

В этом случае систему рис. 8.1 можно рассматривать как два последовательно установленных оптических фурье-анализатора. Такая система обладает свойством переноса функций, заданных в плоскостях так как эти плоскости оптически сопряжены относительно линзы .

Возмущение поля в плоскости соответствует пространственно-частотному спектру функции комплексного пропускания транспаранта установленного в плоскости умноженному на экспоненциальный множитель [8]

где

Установим в плоскости пространственно-частотный фильтр-транспарант, комплексное пропускание которого равно преобразованию Фурье от После умножения (8.7) на в результате действия фурье-анализатора, размещенного справа от плоскости комплексная амплитуда поля в плоскости имеет вид

При что достигается соблюдением условий

квадратичные экспоненциальные множители в (8.8) исчезают и в соответствии с теоремой о свертке комплексная амплитуда поля в плоскости оказывается пропорциональной свертке функции

Фотоприемник, установленный в плоскости регистрирует квадрат модуля функции Поэтому влияние квадратичных экспоненциальных множителей в (8.8) не ощущается и при несоблюдении условия (8.9). В этом случае требуется учитывать только увеличение оптической системы и соответствующее изменение масштаба функции свертки. Более того, несоблюдение условия (8.9) в ряде случаев позволяет улучшить характеристики оптического вычислительного устройства. В частности, эффект виньетирования входного транспаранта, происходящий вследствие конечного размера апертуры линзы можно свести

к минимуму, если установить транспарант вплотную к линзе, т. е. если При максимизируется также база сигнала: наряду с увеличением протяженности сигнала до значения, определяемого эффективной апертурой линзы, увеличивается и полоса частот сигнала вследствие расширения углового спектра плоских волн, попадающих в апертуру линзы. Кроме того, если плоскость входного транспаранта разместить между линзой и плоскостью фильтра то возможно гибкое управление масштабом преобразования Фурье без изменения фокусного расстояния линзы.

Оба метода оптического вычисления свертки — и интегрирование с весовой функцией и метод преобразования Фурье — формально приводят к одному и тому же результату, однако потенциальные возможности устройств, реализующих эти методы, совершенно различны.

При реализации метода интегрирования с весовой функцией, вычисляется только одно значение свертки, соответствующее одному данному значению параметра относительного смещения функций. Вся световая энергия концентрируется вблизи оптической оси системы в выходной плоскости Фотоприемник, установленный на оптической оси устройства, будет регистрировать интегральный световой поток, прошедший через оба транспаранта при данной величине Для вычисления всех требуемых значений свертки в этом устройстве требуется реализовать последовательный перебор значений параметра относительного смещения транспарантов. Осуществить это можно, например, механическим перемещением одного из транспарантов в направлении, перпендикулярном оптической оси. Чем больше независимых отсчетов функций требуется использовать при вычислении свертки, тем больше будет объем перебора значений параметра относительного смещения. Поэтому при обработке высокоинформативных изображений, когда число отсчетов наблюдаемой функции велико, время вычисления свертки часто становится недопустимо большим, а выигрыш в скорости оптической обработки информации по сравнению со средствами электронно-вычислительной техники либо незначителен, либо вообще отсутствует.

Напротив, вычисление свертки методом преобразования Фурье имеет исключительное преимущество по времени обработки информации. Действительно, в этом случае все значения свертки вычисляются одновременно и отображаются в виде светового распредления на плоскости Это происходит потому, что интеграл (8.10) существует для

целой области различных значений в то время как интеграл (8.4) существует лишь для одного значения Отсчеты светового распределения в выходной плоскости теперь могут считываться многоканальным фотоприемником параллельно. Последовательное относительное смещение транспарантов механическим или каким-либо другим путем здесь не требуется, поэтому скорость обработки информации ограничена лишь временем распространения световой энергии от плоскости до плоскости 775 и инерционностью фотоприемника.

При оптических вычислениях свертки методом преобразования Фурье транспарант с записью наблюдаемого изображения устанавливается во входную плоскость, в частотную плоскость помещается пространственно-частотный восстанавливающий фильтр, а восстановленные изображения проявляются в выходной плоскости устройства в виде соответствующего распределения комплексных амплитуд света. С помощью оптических вычислительных устройств с динамическими транспарантами задачи восстановления изображений можно решать практически в реальном масштабе времени [7, 8].

При восстановлении важно обеспечить не только высокую скорость вычислений, но и минимум дополнительных помех, так как вследствие некорректности задачи восстановления на выходе устройства обработки изображения происходит неизбежное усиление шумов. Одним из существенных источников шумов когерентных оптических систем является светорассеяние на царапинах, пылинках и внутренних дефектах оптических элементов (линз, зеркал, фотопластинок и т. п.). По этой причине желательно конструировать оптические устройства восстановления сигналов с минимальным количеством оптических элементов. Это достигается в схеме с освещением входного транспаранта не плоской, а сферической волной.

Рассмотренные нами оптические устройства для вычисления свертки методом преобразования Фурье работают при когерентном освещении и основаны на использовании дифракционных явлений. Такие устройства называют дифракционными оптическими корреляторами. В целом дифракционный коррелятор можно рассматривать как линейную систему фильтрации, осуществляющую преобразование Фурье анализируемой функции, умножение результата преобразования на передаточную функцию фильтра и повторное преобразование Фурье над полученным произведением. Заметим, что эта система линейна по отношению к комплексным амплитудам света, причем выходной

сигнал (результат свертки) представлен также в виде распределения комплексных амплитуд

Однако зарегистрировать распределение комплексных амплитуд света с помощью обычных фотоприемников нельзя. Вместо регистрируется интенсивность света, т. е. функция Эта особенность в конечном счете ограничивает класс обрабатываемых сигналов множеством действительных положительно определенных функций. Для однозначного восстановления таких функций достаточно извлечь положительный квадратный корень из зарегистрированных на выходе коррелятора значений интенсивности света. Если же действительный сигнал имеет отрицательные значения, то определить их «местоположение» в сигнале при извлечении корня из без дополнительной информации нельзя. Аналогично в случае произвольного комплексного сигнала мнимую его часть восстановить невозможно.

Для обработки знакопеременных и комплексных сигналов в когерентных оптических вычислительных устройствах применяют специальные приемы. Например, пользуясь многоканальностью оптических систем, анализ проводят отдельно по положительным и отрицательным частям функции, записанным в отдельных каналах, и затем алгебраически суммируют полученные значения. При анализе знакопеременных сигналов общее число каналов в системе возрастает в два раза, а при анализе комплексных сигналов — в четыре раза.

Другой распространенный прием, используемый при оптической обработке знакопеременных сигналов, состоит в записи сигналов совместно с тщательно контролируемой постоянной составляющей, уровень которой больше размаха амплитуды сигнала. В процессе анализа выходного распределения интенсивностей квадрат постоянной составляющей вычитают из полученных значений интенсивности света.

Замечательно то, что в задачах восстановления изображений, как правило, не требуется использовать специальные приемы записи функций. Значительная часть таких задач связана с обработкой положительно определенных функций двух переменных. В телевидении, радиолокации, электронной микроскопии, рентгенографии и других областях регистрируется пространственное распределение интенсивности соответствующих волновых полей, естественное представление которого получается с помощью полутоновых фотографических транспарантов. Поэтому и на выходе оптических вычислительных устройств для обработки

изображений достаточно зарегистрировать выходное распределение интенсивности света, не принимая особых мер по восстановлению распределения комплексных амплитуд.