ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1. МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Огромное число самых разных изображений формируется на основе различных физических принципов преобразования полей в сигналы изображений. Так, в классической оптике изображение формируется с помощью оптических устройств, состоящих из набора линз и зеркал, в радиоастрономии для регистрации изображений требуются специальные антенны и чувствительные квантовые приемники, акустические поля могут регистрироваться с помощью матрицы микрофонов и т. п. Таким образом, сейчас почти невозможно дать сколько-нибудь исчерпывающее описание всему разнообразию методов формирования изображений, используемых в различных областях науки и техники. Однако общие сведения о формировании совершенно необходимы при решении задачи восстановления, так как искажение изображения происходит именно на этом этапе.

Остановимся на одном гтринципиалоном вопросе: какйе сигналы следует называть изображениями? В настоящее время на этот вопрос не существует однозначного ответа. Многие исследователи рассматривают изображения, как обязательно многомерные сигналы, специфической особенностью которых является сложное статистическое поведение (корреляция различных точек в пространстве, принадлежность классу специфических случайных процессов и т. д.) [44]. Такой подход имеет смысл при решении задач распознавания образов и выделения информативных признаков. В данной книге мы будем руководствоваться другим подходом, основанным на общей теории сигналов. С точки зрения этого подхода, изображением является произвольный сигнал (не обязательно многомерный), удовлетворяющий специфическим ограничениям (например, неотрицательности и конечной протяженности). В тех случаях, когда для решения задачи восстановления придется привлекать статистические модели изображений, это будет оговариваться. Таким образом, кроме двумерных изображений в оптике, акустике, радиолокации и т. п., описанные

алгоритмы в равной степени применимы, например, к решению задачи восстановления тонких линий в спектрах, искаженных аппаратной функцией прибора, или к задаче восстановления одной строки телевизионного изображения.

Наиболее общий подход к процессу формирования дается в операторном виде. Будем описывать произвольное изображение, независимо от его природы, функцией в общем случае двух переменных а процессом формирования изображения будем называть преобразование исходного изображения в получаемое изображение при помощи некоторого оператора

Структура оператора может быть достаточно сложна. Будем считать, что в общем случае оператор эквивалентен нескольким последовательным операторам, каждый из которых соответствует различным этапам получения изображения:

Отметим, что в общем случае важен порядок следования операторов, так как наличие нелинейности не позволяет гарантировать их коммутативность.

Задача заключается в нахождении обратного преобразования и устранения искажений, вносимых в изображение в процессе его формирования:

При этом, как правило, приходится ограничиваться лишь теми искажениями, которые внесены средой распространения и системой формирования.

Рис. 1.1. Формирование оптического изображения

Конкретное представление оператора определяется исключительно спецификой системы формирования изображений. Для того чтобы получить представление о

наиболее распространенных системах, кратко рассмотрим особенности формирования оптических, радио- и акустических изображений, а также методы сбора информации о пространственных полях.

Наиболее общая схема формирования оптического изображения приведена на рис. 1.1. Будем называть исходным изображением в плоскости объекта или просто объектом. Систему формирования будем считать «черным ящиком», включающим в себя все промежуточные звенья — среду распространения и оптические устройства. На выходе системы формирования получаем выходное изображение 11).

Для описания системы формирования оптических изображений необходимо рассматривать уравнения распространения электромагнитного поля. Характерно, что объект может быть самосветящимся, как, например, звезды в астрономии, или облучаемым. В случае облучаемого объекта принимается отраженное поле, тогда как в случае самосветящегося — собственное. Подавляющее большинство систем формирования оптических изображений работают с некогерентным излучением, при этом различные точки изображения статистически не связаны друг с другом. В то же время в статистической оптике доказана фундаментальная теорема Ван Циттерта-Цернике о том, что при больших расстояниях от объекта излучение даже полностью некогерентного источника может считаться частично когерентным [4, 46].

Произвольную оптическую систему будем характеризовать функцией пропускания , которая определяется как комплексная амплитуда возмущения в плоскости обусловленная возмущением с единичной амплитудой и нулевой фазой в точке х, у. В предположении линейности системы элемент поверхности объекта вызывает возмущение поля в плоскости изображения:

Для нахождения полного поля в плоскости изображения необходимо проинтегрировать вклады от различных частей источника в пространстве:

Можно показать, что при чисто дифракционном формировании монохроматического изображения с длиной волны на расстоянии комплексная амплитуда поля равна (см. также гл. 8)

Отметим, что при регистрации изображения фазовая информация теряется, так как регистрирующие устройства реагируют на интенсивность поля. Таким образом, закон формирования для когерентного излучения записывается следующим образом:

При некогерентном сложении излучение различных участков объекта не связано между собой. В этом случае интенсивности соответственно объекта и изображения. Они являются действительными неотрицательными функциями. Интенсивность в плоскости изображения от элементарного возмущения равна

Таким образом, для распределения интенсивности имеем

Это выражение следует из закона формирования для когерентного излучения при учете некоррелированности точек изображения. Между когерентным и некогерентным излучением существует промежуточный случай — частичная когерентность. При этом основная роль принадлежит функции когерентности или функции взаимной интенсивности, показывающей меру корреляции между различными точками изображения.

Основными причинами искажений в оптических системах являются несовершенство оптики (неточная фокусировка, геометрические искажения) и принципиальные физические ограничения, связанные с дифракцией (ограниченная разрешающая способность) и условиями формирования изображений (наличие искажающей среды — атмосферы, «смаз» изображения при быстром движении регистрирующего устройства). Искажения оптических изображений происходят и при их регистрации. Так, при фотохимической регистрации на галоидно-серебряной фотопластинке масса отложенного серебра нелинейно связана с интенсивностью падающего излучения т. е. где — некоторый коэффициент, определяемый свойствами фотоэмульсии. Аналогичная ситуация

Существует и при фотоэлектронной регистрацйй: сила электронного тока определяется степенью интенсивности падающего света где коэффициент приемника.

Кроме нелинейности устройства регистрации вносят шумы в изображения. Так, в любом фотоэлектронном датчике имеются флуктуации электронного тока и тепловые шумы. При фотохимическом способе регистрации возникает шум зернистости, связанный со случайностью расположения зерен отложенного серебра.

В последнее время произошли существенные сдвиги в разработке методов и средств формирования изображений в акустическом диапазоне. Визуализация звуковых полей начинает играть все большую роль в гидролокации, сейсмографии, неразрушающем контроле, микроскопии, медицинской диагностике [14]. Акустические системы делятся на активные, принимающие отраженные от объекта акустические волны (или прошедшие через объект), и пассивные, основанные на измерении собственного излучения объекта. Используемые здесь длины волн имеют диапазон от долей миллиметра (акустическая микроскопия, ультразвуковая диагностика) до километров (пассивная гидролокация). Задачи формирования акустических изображений по сравнению с оптическими имеют две основные особенности. Во-первых, разрешение акустических систем значительно ниже, чем у оптических, т. е. возможности различения двух близких источников ограничены. Это связано с тем, что относительные размеры акустических систем по сравнению с длинами используемых волн не так велики, как в оптике, следовательно, дифракционные эффекты играют определяющую роль. Во-вторых, зашумленность акустических изображений значительно выше, чем у оптических, так как обычно сильны шумы акустического канала и приемной аппаратуры. Эти два обстоятельства определяют необходимость обработки акустических изображений с целью повышения разрешения и фильтрации шумов. Необходимо отметить, что в настоящее время большинство систем получения акустических изображений включает в себя специализированную ЭВМ для выполнения операций восстановления.

Математическая теория формирования акустических изображений основывается на теории дифракции акустического поля и родственна теории формирования оптических изображений. Среда распространения для акустических сигналов, как правило, является неоднородной и решение

задач гидроакустики сталкивается с влиянием турбулентности воды при формировании изображений.

Методы визуализации акустических изображений условно можно разделить на две большие группы: методы, использующие изменение оптических свойств регистрирующего материала, и электронные методы, основанные на преобразовании акустических сигналов в электрические с последующей обработкой. Одним из классических методов первой группы является дифракция света на ультразвуке. Суть этого метода заключается в изменении коэффициента оптического преломления среды под действием звуковой волны. Световое поле, прошедшее через среду, возбужденную ультразвуковым потоком, модулируется по фазе и с помощью простейшей оптической системы можно получить изображение, соответствующее распределению интенсивности в ультразвуковом пучке. В последнее время все большее распространение получают методы второй группы, основанные на электронном преобразовании сигнала. Приемниками этой группы являются различные микрофоны, а изображение формируется либо системой сканирования, либо матрицей приемников. Можно упомянуть, что разработаны сканирующие электронно-акустические преобразователи, электронные матрицы приемников, различные акустические линзы.

Рис. 1.2. (см. скан) Электронная система формирования акустического изображения

Рассмотрим типичную систему, изображенную на рис. 1.2. Основными элементами ее являются: матрица приемников с электронным управлением диаграммой направленности, блок специальных процессоров, выполняющих канальную обработку сигнала, специализированная ЭВМ и монитор, на который выводится изображение. Анализ показывает, что суммарный эффект распространения волн при преобразовании

Рис. 1.3. Система пассивного радиовидения со сканированием

акустического поля в этой системе может быть описан линейным интегральным уравнением, аналогичным уравнению формирования в оптическом диапазоне:

где — суммарная весовая функция среды и системы формирования, -распределение акустического поля в плоскости объекта, -распределение поля в плоскости изображения. Тем же уравнением может быть описано и преобразование поля в акустической линзе, где будет являться весовой функцией линзы. Системы с электронным преобразованием открывают богатые возможности для последующей обработки изображения. Отметим также, что для обработки сигналов акустического диапазона по сравнению с оптическим характерным является существование приемников, реагирующих как на амплитуду, так и на фазу волны [14].

Большое число изображений формируется также в радиодиапазоне на длинах волн от миллиметров до дециметров. Это как «активные» изображения (локация), так и пассивные, получаемые в задачах радиометрии, медицинской диагностики, радиоастрономии и т. п. На рис. 1.3 изображена система радиовидения со сканированием. Сигнал СВЧ, принимаемый антенной, сканируется по двум координатам и после соответствующего усиления и преобразования в цифровую форму подается на ЭВМ, которая обрабатывает и выводит изображение на монитор. Основным затруднением, встречающимся при реализации подобных систем, является низкое качество изображения, связанное с трудностями реализации СВЧ линз. Анализ

показывает, что получаемое изображение может быть записано следующим образом:

Здесь — принятое изображение; — исходное изображение; — функция, характеризующая диаграмму направленности реальной антенны с учетом фазовых искажений. Однако результирующее изображение оказывается сильно искаженным и дефокусированным.

В радиоастрономии широко используется метод апертурного синтеза, с помощью которого получают радиоизображения удаленных источников. При этом используются антенные решетки, снимающие отсчеты с многих точек волнового фронта излучения от источников. Для сигналов, измеренных в различных точках в различные моменты времени, находится функция взаимной когерентности:

По теореме Ван Циттерта-Цернике для поля в дальней зоне это выражение равно преобразованию Фурье от распределения яркости в изображении. По функции взаимной когерентности можно легко найти распределение яркости источника. С учетом диаграммы направленности антенн и характеристик приемной аппаратуры изображения, получаемые в апертурном синтезе, могут быть представлены в виде аналогичном (1.4) [41].

Одной из основных задач структурного анализа кристаллов является определение изображения функции электронной плотности в кристалле, дающей идентификацию атомной структуры вещества. Известно, что эта задача эквивалентна так называемой фазовой задаче с ограничениями — восстановлению информации о фазе Фурье-преобразования сигнала при априорной информации о модуле преобразования Фурье и о восстанавливаемой функции [105]. К ограничениям на восстанавливаемую функцию относятся ее неотрицательность, отличие от нуля только в определенных участках пространства и другие ограничения, следующие из специфики структурного анализа кристаллов (допустимость только определенных конфигураций и т. п.). Фазовая задача рассматривается в гл. 5.

В последнее время существует тенденция представления в виде двумерных изображений информации о любых процессах, распределенных в пространстве. В качестве

примера можно указать на задачу получения изображений статического электрического и магнитного полей. В этих случаях информация может быть собрана с помощью системы датчиков, причем сигнал, поступающий с каждого из них, отражает интегральные характеристики поля в некоторой области пространства. Если бы каждый из датчиков был идеален, то их действие сводилось бы к получению дискретной выборки из поля. В действительности, если учесть неидеальность датчиков, придем к системе, аналогичной (1.4).

Внедрение методов и средств восстановления изображений в научные исследования и народное хозяйство является весьма актуальной задачей. Это иллюстрируют следующие примеры.

Оптическая астрономия. До недавнего времени восстановлению астрономических изображений уделялось мало внимания Вместе с тем эффективность использования оптических телескопов может быть повышена в несколько раз при затратах, гораздо меньших, чем затраты на сооружение более крупных телескопов В настоящее время в мире существует значительное число малых и средних телескопов. «Мощность» телескопа определяется диаметром его главного зеркала; к малым и средним телескопам относят значения Больших телескопов в мире несколько, причем телескопов с диаметром зеркала более пяти метров всего два — в обсерватории Маунт-Паломар (США) и (большой телескоп азимутальный) с Каждый подобный телескоп является уникальным сооружением. Даже незначительное увеличение диаметра зеркала приводит к резкому возрастанию затрат на создание телескопа, достигающих сотен миллионов долларов [23]. Кроме того, диаметр зеркала является предельным для современной технологии.

Более крупные зеркала телескопов, с одной стороны, дают большее пространственное разрешение изображения, а с другой стороны, обладают способностью принимать излучение от более слабых объектов. Однако разрешение, которое обеспечивает -метровый телескоп в наземных условиях из-за атмосферной турбулентности эквивалентно разрешению -метрового телескопа в идеальных условиях наблюдения. Это явилось причиной проектирования космического телескопа, диаметр которого равен Вывод космического телескопа на орбиту был запланирован на стоимость этого проекта составляет около миллиарда долларов [23]. Разрабатывается и многозеркальный наземный оптический телескоп с диаметром эквивалентной апертуры около Этот телескоп будет состоять из системы зеркал, управляемых с помощью ЭВМ.

Отношение сигнал-шум для наземных телескопов прямо пропорционально квадрату диаметра зеркала телескопа и обратно пропорционально диаметру турбулентного диска [56]. Диаметр турбулентного диска равен размеру характерного «размытия» точечного объекта при длительной экспозиции и соответствует размеру весовой функции атмосферы; он определяется отношением длины волны принимаемого излучения к радиусу когерентности [46]. При длительной экспозиции и наблюдении удаленных объектов характерный размер весовой функции атмосферной турбулентности примерно в 10 раз превышает характерный размер весовой функции собственно оптического устройства. Следовательно, атмосферная турбулентность на порядок уменьшает отношение сигнал-шум и разрешение телескопа при наблюдениях с земной поверхности.

Решением, альтернативным созданию космических телёскопбв, может быть создание при обсерваториях специализированных комплексов обработки изображений. Если обрабатывать изображения, получаемые на наземном телескопе в режиме коротких экспозиций, можно добиться качественного восстановления изображения и тем самым эквивалентного уменьшения диаметра турбулентного диска. Учитывая, что метод спекл-интерферометрии (см. гл. 6) позволяет получить информацию о модуле спектра изображения вплоть до дифракционного предела телескопа, а последующая нелинейная обработка позволяет получить качественное восстановление изображения, создание специализированных вычислительных комплексов на оптических обсерваториях является альтернативой созданию космических телескопов. Такое решение выгодно и с экономической точки зрения — если изображение, получаемое на -метровом телескопе, восстановить на специализированной ЭВМ, то -метровый телескоп по своим параметрам становится эквивалентным -метровому. Стоимость вычислительной системы при этом не будет превышать нескольких процентов от стоимости телескопа с диаметром зеркала, втрое большим.

Приведенные соображения, конечно, не означают, что оборудование оптических обсерваторий вычислительными комплексами для восстановления изображений является единственно возможным методом решения задачи и единственной альтернативой созданию сверхкрупных и космических телескопов, однако они убедительно демонстрируют возможности вычислительной техники в повышении эффективности различных устройств. У рассмотренной задачи существует еще один аспект: широкое внедрение вычислительных комплексов в астрономии сделает возможным повсеместное использование телескопов с характеристиками, которые в настоящее время относятся к разряду уникальных.

Радиолокация и радиоастрономия. Не менее серьезные проблемы существуют в современной радиоастрономии и радиолокации с синтезированием апертуры. Так, в радиоастрономии задача сводится к обращению уравнения свертки с неизвестной информацией о фазе спектра, т. е. задаче, близкой к задаче восстановления оптических изображений. Можно утверждать, что разумные методы восстановления изображений в задачах апертурного синтеза часто являются эффективным методом получения информации о задаче. Интересно, что использование методов восстановления в радиоастрономии дает экономический выигрыш, сравнимый с экономией, получаемой в оптическом диапазоне, так как стоимость радиотелескопов возрастает пропорционально кубу диаметра раскрыва зеркала приемной антенны.

Восстановление изображений приобретает все большее значение при аэрофотосъемке как средство компенсации смаза изображения, в акустоскопии как средство повышения разрешающей способности, в рентгенографии как средство улучшения рентгеновских снимков. Большое число работ по восстановлению изображений проводится в области диагностики плазмы и особенно в экспериментах по управляемому термоядерному синтезу [42].

Томография и медицинская диагностика. В некоторых исключительно важных случаях восстановление изображений является вообще практически единственным средством получения цепной информации. Это относится, например, к томографии — получению изображения по набору проекций. Наиболее важные применения томографии — медицинская диагностика, планирование хирургических операций. Мы намеренно воздерживаемся от описания методов восстановления в томографии, так как им посвящена обширная литература [65]. Отметим только, что при решении задач улучшения качества изображения, использовании меньшего

числа проекций, на первое место выступают методы итерационного и нелинейного восстановления, описанные в этой книге.

Наконец, отметим важную задачу, возникающую в медицинской диагностике — это СВЧ-радиометрия тела человека, которая аналогична задаче радиовидения. Смысл задачи заключается в том, что тепловое излучение внутренних органов человека может быть зарегистрировано в СВЧ-диапазоне. При этом, однако, определяющую роль начинает играть дифракционное расплывание источников, ограничивающее точность их локализации. Компенсация этого эффекта может в несколько раз повысить точность локализации источников [88]. Решение задачи может быть найдено с помощью методов, описанных в последующих главах.

Подведем основные итоги. Мы отметили различные системы формирования изображений. С физической точки зрения все эти системы объединяет то, что условия получения изображений и приборы, с помощью которых построены системы, вносят искажения, которые часто приводят к практической невозможности интерпретации полученных данных. С математической точки зрения, все рассмотренные нами системы объединяет предположение об их линейности, что позволяет записать общее выражение для наблюдаемого изображения в виде

где входное, выходное изображение, весовая функция системы, определяющая все ее свойства, аддитивный случайный шум, неизбежный в реальном физическом устройстве.

Задача восстановления изображений в большинстве случаев сводится к решению интегрального уравнения (1.5), т. е. определению функции по зашумленным значениям Следует отметить, что реальные системы формирования изображений являются принципиально нелинейными. Кроме того, шум в некоторых из них нельзя считать аддитивным. Поэтому выражение (1.5) част, является лишь некоторым удобным для анализа приближением. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном линейные системы, подчиняющиеся закону формирования вида (1.5). Некоторые нелинейные системы и системы с более сложным, чем аддитивное, взаимодействием сигнала и шума рассмотрены, например, в книге [8].