5.4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ О ФАЗЕ И ПУТИ РЕШЕНИЯ ФАЗОВОЙ ПРОБЛЕМЫ

В ряде практических приложений оказывается доступной лишь информация о модуле частотной характеристики спектра изображения. Так, например, в рентгеновской кристаллографии и электронной микроскопии получают функцию Паттерсона — автокорреляцию изображения электронной плотности, а интерес представляет изображение

собственно электронной плотности. В апертурном синтезе и при восстановлении изображений, прошедших через турбулентную среду, также получают только информацию о модуле спектра изображения.

Фазовой проблеме посвящено большое число работ [78, 79, 81, 139]. Пусть модуль спектра изображения равен и пусть также -финитная функция, определенная на интервале Тогда на комплексной плоскости функция является аналитической функцией (см. § 5.1), которая может быть определена, исходя из знания последовательности точек, в которых она равна нулю. Для функции можно записать следующее выражение [106]:

где корни упорядоченные по их модулям:

Физически наблюдаемой величиной обычно является квадрат модуля спектра характеризующий интенсивность регистрируемого поля излучения.

Если имеет корни то имеет сопряженные корни, так что имеет вдвое больше корней, чем Из можно определить корни, лежащие на оси со, а комплексные корни, расположенные выше или ниже оси со, определить невозможно. Если имеется всего комплексных корней, то соответствующая неопределенность составляет решений. Поскольку исследуемая функция действительна и то неопределенность уменьшается до решений.

В общем случае даже при сильном ограничении, таком как финитность исследуемой функции, невозможно однозначно восстановить фазу спектра только по модулю Учет неотрицательности также не позволяет однозначно восстановить фазу по знанию модуля — в этом смысле неотрицательность лишь незначительно отличается от более общего ограничения — действительности функции Именно этот факт с теоретической точки зрения объясняет неединственность результатов восстановления, получаемых в одномерном случае при помощи итерационного алгоритма Фиенупа (см. гл. 4).

В работах [102] получены данные, подтверждающие невозможность однозначного восстановления фазы только по модулю спектра изображения. Однако практические эксперименты приводят к интересному результату: если

в одномерном случае класс решений, определяемых информацией о модуле спектра, широк, то в двумерном случае решения, получаемые на основе информации только о модуле спектра, близки друг к другу и могут рассматриваться как достаточно надежные решения задачи восстановления [110, 111]. Теоретически это объясняется изучением комплексных полиномов многих переменных [128]. Оказывается, комплексные полиномы многих переменных, соответствующие -преобразованию, существенно отличаются от соответствующих одномерных комплексных полиномов [128]. Пусть дана -мерная дискретная последовательность . Z-преобразование этой последовательности является -мерным полиномом:

Полином называется приводимым, если он может быть представлен в виде произведения полиномов меньшей степени: и называется неприводимым в противном случае. -преобразование будем называть, симметрическим, если:

где целое число. Z-преобразование многомерных последовательностей почти всегда (с точностью до множества меры нуль) является неприводимым и несимметрическим. Если определить класс эквивалентных сигналов с точностью до линейного фазового сдвига, обращения аргумента и знака функции, то все сигналы, принадлежащие этому классу, имеют одинаковый модуль преобразования Фурье. Доказано [106], что если -преобразование многомерного сигнала является неприводимым и несимметрическим, то модуль преобразования Фурье однозначно с точностью до класса эквивалентных сигналов с различием фазы, оговоренным выше, определяет фазовую характеристику. Следовательно, почти все двумерные сигналы с точностью до линейного фазового сдвига, знака и обращения аргумента могут быть восстановлены из модуля преобразования Фурье. Более того, если сигнал имеет ограниченную пространственную протяженность, достаточно знать только часть модуля спектра для однозначного восстановления полной фазовой характеристики и всего модуля спектра. Это можно понять на основе метода аналитического продолжения: если в полосе частот до меньшей

известен модуль то из приведенной в [106] теоремы следует, что в пределах полосы можно однозначно определить фазу и тем самым однозначно восстановить спектр сигнала вплоть до Затем из теоремы об аналитическом продолжении спектра можно восстановить спектр за пределами полосы пропускания системы, используя разложение в функциональные ряды или алгоритм Гершберга-Папулиса (см. § 5.1).

Из результатов, полученных в [106], следует, что итерационный алгоритм Фиенупа (4.69), примененный к двумерным изображениям, приводит к истинному решению с точностью до фазового сдвига и обращения аргумента. Однако алгоритм Фиенупа сходится медленно и требует выбора хорошего начального приближения. Необходимо также помнить, что приведенный результат о возможности однозначного восстановления фазы многомерных сигналов применим в идеальном случае — при полном отсутствии шумов. В [108] предложены другие алгоритмы для решения фазовой проблемы, однако в них не учитывается влияние шумов на решение. Для того чтобы построить устойчивый алгоритм восстановления фазовой информации, необходимо кроме информации о модуле спектра использовать другую дополнительную априорную информацию. В качестве такой информации можно взять информацию о низкочастотной части фазовой характеристики. Низкочастотная фазовая информация доступна в восстановлении изображений, прошедших через турбулентную среду [116, 134]. Обычно эта информация содержится в среднем искаженном изображении. Информация о низкочастотной части фазовой характеристики выступает в фазовой проблеме как знание всего низкочастотного спектра. Из теоремы об аналитическом продолжении следует, что совместное использование ограничения на пространственную; протяженность и знание некоторого сегмента спектра позволяет полностью восстановить спектр в отсутствие шумов. В этом случае можно считать, информация о модуле спектра за пределами частоты среза избыточна. Однако с учетом неизбежных шумов во входных данных априорное знание всего модуля чрезвычайно полезно, так как экстраполяция спектра происходит уже при априорной информации о модуле спектра за пределами полосы пропускания. Восстанавливающий алгоритм с регуляризацией для такого случая рассматривался нами в § 3.4 и § 4.5.

Если модуль спектра решения содержит шум, то можно учесть в восстанавливающем алгоритме некоторую информацию

Рис. 5.5. (см. скан) Результаты цифрового моделирования: а — исходный объект; б - восстановление по алгоритму Фиенупа (80 итераций); в — восстановление при использовании ограничения на модуль спектра (80 итераций); г - алгоритм восстановления по известной фазе спектра (20 итераций); д - алгоритм восстановления по известной фазе спектра (400 итераций); е - алгоритм с ограничением на известную фазу спектра (70 итераций)

о степени отклонения содержащего шум модуля спектра от истинного. Эта априорная информация выглядит как ограничение в виде неравенства

где - неизвестный истинный модуль спектра, -модуль спектра, содержащий шум, у — предполагаемая величина мощности шума. Рассмотрим результаты цифрового моделирования. На рис. 5.5, а приведено исходное изображение, а на рис. 5.5, б результат восстановления

изображения при 80 итерациях с помощью алгоритма? Фиенупа при точно известном модуле спектра исходного изображения. При этом в качестве начального приближения взят случайный шум. На рис. 5.5,в приведен результат выполнения 80 итераций итерационного алгоритма а ограничением на модуль спектра исходного изображения. В качестве искаженного изображения принято дифракционно ограниченное изображение с сохраненными 15 отсчетами спектра Фурье из 200 отсчетов. Параметр регуляризации при этом выбран равным шум по амплитуде в в искаженном изображении составляет приблизительно 1/30 от максимальной амплитуды сигнала.

Предположим, что нам известна фаза спектра изображения. На рис. 5.5, г показано восстановление после 20 итераций по алгоритму (4.74). На рис. 5.5, д приведен результат восстановления после 400 итераций. При этом почти полностью восстанавливается исходная структура изображения. На рис. 5.5,е приведен результат восстановления после 70 итераций при использовании итерационного алгоритма с ограничением на фазу спектра исходного изображения, качество которого аналогично рис. 5.5,б. В качестве искаженного изображения выбрано дифракционно ограниченное изображение с сохранением 15 из 200 отсчетов спектра Фурье и шумом, составляющим 1/30 амплитуды сигнала.

Из приведенных результатов моделирования можно заключить, что учет ограничений на модуль спектра или фазу спектра особенно эффективен в задачах сверхразрешения. Так, итерационный алгоритм вида (4.79) можно рассматривать как алгоритм для решения фазовой проблемы с экстраполяцией спектра за пределы полосы пропускания системы формирования.

В заключение отметим, что в задачах, связанных со сверхразрешением и фазовой проблемой, еще много нерешенных вопросов. Основными из них, на наш взгляд, являются теоретическая оценка меры узости класса решений и выбор оптимального алгоритма восстановления изображения.