2.6. СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Описанные в этой главе различные методы восстановления изображений обеспечивают различное качество восстановления в зависимости от конкретной практической ситуации, в частности от степени искажения, уровня шума, принадлежности изображения к некоторому определенному

классу и т. п. Поэтому возникает естественный вопрос об использовании существующей теории в практике обработки изображений для выбора способа регуляризации, оценивания неизвестных параметров, метода управления и т. д.

В этом параграфе мы обсудим некоторые особенности, характерные для всех линейных алгоритмов восстановления изображений, и попытаемся провести сравнение различных методов.

1. Выбор способа регуляризации. Как уже отмечалось, инверсный фильтр может дать приемлемый результат только в случае, если зашумленность изображения очень мала. В противном случае необходимо пользоваться регуляризацией, причем сразу возникает вопрос выбора регуляризирующего алгоритма. Выбор способа регуляризации практически означает выбор параметра а и множителя При этом желательно ориентироваться на оптимальный винеровский фильтр с возможностью управления параметром а. Если отсутствует информация о характере поведения энергетических спектров изображения и шума, можно использовать тихоновские регулизирующие множители со стабилизаторами вида Практика показывает, что такой выбор часто приводит к хорошим результатам. Таким образом, частотная характеристика восстанавливающего фильтра может иметь вид

где Параметр адля управляемой винеровской фильтрации может выбираться приблизительно от 0,5 до 1, в тихоновской регуляризации он должен оцениваться согласно положениям, изложенным в §§ 2.1, 2.2.

При реализации тихоновской регуляризации в дискретном виде необходимо соблюдать осторожность в вопросе выбора стабилизирующего множителя. Если интервал дискретизации изображения совпадает с интервалом Котельникова, множитель должен быть определен в области частот где частота Котельникова. Если отличен от нуля при то при вычислении дискретного преобразования Фурье (см. гл. 7) возникает эффект наложения спектров, что может привести к возрастанию ошибок в решении. Усечение же дискретного множителя в частотной области приводит к известному в практике цифровой обработки сигналов возникновению осцилляций решения. Кроме того, при малом параметре а частотная характеристика в точке перегиба может оказаться

недостаточно плавной, что также приведет к паразитным осцилляциям. Следовательно, необходимо проверять результирующую частотную характеристику восстанавливающего фильтра на отсутствие перечисленных эффектов и не допускать перекрытия спектров при дискретизации.

Более оптимальные способы построения частотных характеристик восстанавливающих фильтров для дискретных сигналов описаны в [40]. В частности, можно искать оптимальные частотные характеристики восстанавливающих фильтров. Для этого рассматривают величину равную обратному преобразованию Фурье от функции в интервале

Возможны различные варианты нахождения оптимального по функции зависящие от постановки задачи. Так, можно минимизировать величину вне главного лепестка, максимизировать энергию содержащуюся в главном лепестке, минимизировать амплитуду первого лепестка и т. п. Эти подходы хорошо известны разработчикам цифровых фильтров. К сожалению, задачу определения оптимального приходится решать для каждого конкретного выбора частотной характеристики

В работах [42, 45] рассматриваются методы восстановления, основанные на квадратичных функционалах качества, вытекающих из статистической модели изображения с плотностью вероятности (2.64). Выбор способа регуляризации в этих методах основан на стабилизирующих функционалах более сложной конструкции.

2. Оценивание неизвестных параметров по искаженному изображению. Часто некоторые параметры, необходимые для восстановления, неизвестны. Ими, например, могут быть энергетический спектр исходного изображения или шума, передаточная функция системы. В этом случае существует ряд приемов для оценивания неизвестных параметров непосредственно по искаженному изображению.

Рассмотрим, например, уравнение свертки и разобьем изображение на частей Тогда энергетический спектр каждой части будет равен

Усредним энергетические спектры различных фрагментов изображения. Можно ожидать, что случайные отклонения

в энергетических спектрах различных частей окажутся сглаженными, и мы получим усредненную оценку:

Дальнейшие действия зависят от целей поиска: если априорно известны энергетические спектры изображения и шума, можно найти оценку модуля передаточной функции системы. Так, например, шум может быть эффективно измерен на однородных частях изображения, а практика показывает, что для оценки энергетического спектра изображения весьма эффективен метод «прототипа» [75]. Остановимся на этом методе более подробно. Если нам априорно известна принадлежность изображения к определенному классу изображений, то с большой вероятностью общий характер поведения энергетического спектра, полученного усреднением по фрагментам изображения, будет практически одинаковым с типичным спектром для определенного класса изображений. Здесь, по существу, используется некоторая информация о скорости спадания энергии в спектре изображения на высоких частотах. Разбиение изображения на классы успешно проводится с помощью сравнения степени близости их гистограмм или анализа доли импульсных объектов в изображениях. Например, изображения однородных поверхностей, содержащие мало резких перепадов яркости, и изображения с частыми перепадами (резкими границами) либо импульсными объектами могут быть отнесены к двум различным классам изображений, так как во втором случае усредненная скорость спадания энергетического спектра будет меньше, чем в первом. Таким образом, если известен некий прототип изображения который мы обозначим то можно положить

где — спектры соответственно.

Если считать изображение стационарным случайным процессом, то выражение для усредненного энергетического спектра искаженного изображения можно с успехом использовать как знаменатель винеровского оптимального фильтра [75]:

Часто используется также усреднение логарифмов спектров. Действительно, считая шум малым, получим

Экспериментальные исследования [75] показали целесообразность использования прототипов в качестве оценки для Для определения передаточной функции системы формирования можно воспользоваться еще

Таблица 2.1. (см. скан) Методы линейной фильтрации

одним приемом. На изображении отыскиваются точечные импульсные или линейные протяженные объекты, порожденные удаленными источниками. Такими объектами в оптической астрономии служат звезды, а в аэрофотосъемке — кромки дорог и границы теней от протяженных сооружений. Сканирование этих объектов с помощью микроденситометра позволяет получить регистограммы профилей фотографической функции рассеяния точки (ФРТ) или функции рассеяния линии (ФРЛ). которые могут служить хорошей оценкой весовой функции системы. Усреднение полученных регистограмм ФРТ и ФРЛ и последующее преобразование Фурье от усредненной весовой функции дает оценку

Таким образом, часто передаточную функцию системы (или модуль ) можно определить непосредственно из искаженного изображения. Существует также дополнительная

возможность определения фазовой характеристики которая будет рассмотрена в гл. 6.

3. Выбор метода управления и классы изображений. Наиболее сложным вопросом в линейном восстановлении изображений остается выбор соотношения шума и разрешения в получаемом изображении, т. е. управление частотной характеристикой фильтра с целью согласования оптимального соотношения дефокусировки с зашумленностью. Поскольку эффективных математических моделей качества изображения с точки зрения восприятия пока не имеется, единственным разумным методом остается метод проб и ошибок с участием человека-оператора. Отметим, что часто ситуация зависит и от класса восстанавливаемого изображения: в алучае импульсных объектов сильнее сказываются осцилляции решения (см. далее), а в случае однородных объектов — зашумленность. Поэтому необходимо иметь гибкий метод управления фильтрацией. Мы считаем, что наиболее общим методом управления служит фильтр (2.50)

Таблица 2.2. (см. скан) Методы управления частотной характеристикой линейного фильтра

с переменными параметрами Для сравнения в табл. 2.1 приведены различные линейные методы восстановления изображений, а в табл. 2.2 — различные частотные характеристики линейных фильтров, получаемых из (2.50) при фиксации различных параметров. Оператор-исследователь задает параметры фильтра и может быстро оценить оргепень зашумленности изображения при инверсной фильтрации, винеровской либо тихоновской регуляризации, и в случае если качество последних его не удовлетворяет, то ему необходимо начать серию восстановлений с последовательным уменьшением параметров и/или , пока не будет достигнут желаемый результат. Положительной чертой фильтра вида (2.50) является также возможность его представления в виде одной вычислительной процедуры, что уменьшает затраты времени на программирование задачи. Практические результаты показывают, что при приблизительно 0,5 и а от 0,9 до 1 обеслечивается наилучшее качество восстановления.

(кликните для просмотра скана)

Рассмотрим результаты численного моделирования. На рис. 2.6,а приведено исходное изображение форматом 256X256 элементов, которое искажается сверткой с гауссовской весовой функцией и добавлением аддитивного шума; результат искажения показан на рис. 2.6,б. Отношение сигнал/шум, определяемое по отношению дисперсий значений сигнала и шума на рис. 2.6,б, равно 2000. Даже в этом случае инверсная фильтрация приводит к сильным шумам, полностью искажающим изображение (рис. 2.6,в). На рис. 2.6,г приведен результат оптимального восстановления с помощью тихоновской фильтрации при выборе параметра Увеличение а приводит к более сильной дефокусировке изображения, а уменьшение — к возрастанию шумов. Заметим, что размер элементов надписи на рис. 2.6,а составляет около 2—3 элементов изображения, а для гауссовской весовой функции, искажающей изображение, размер составляет около 20 элементов. Это означает, что даже при очень малом шуме в искаженном изображении участки спектра, отвечающие за формирование надписей и лежащие в высокочастотной области, подавлены частотной характеристикой системы ниже уровня шума. Следовательно, разрешение изображения на рис. 2.6,г является практически предельным для линейного алгоритма. На рис. показан результат оптимального подбора коэффициентов управляемого фильтра при параметрах Разрешение изображения на рис. приблизительно эквивалентно разрешению на рис. 2.6,г, однако некоторые мелкие детали визуально воспринимаются лучшие. При отношении сигнал/шум, равном 10000, возникает возможность восстановления надписи в восстановленном изображении. Пример такого восстановления при параметре а дан на рис. 2.6,е. Отметим, что и при этом практически недостижимом уровне отношения сигнал/шум, инверсный фильтр дает шумоподобную картину, аналогичную изображению на рис. 2.6,в.

На рис. 2,6,ж показан результат искажения исходного изображения при уровне шума, на порядок превышающем шум в изображении на рис. 2.6,б. На рис. 2.6,з приведено

восстановление с помощью тихоновской фильтрации при параметре а на рис. 2.6,и и 2.6,к - при параметрах соответственно. При уменьшении параметра а возрастает шум. Возьмем и ослабим действие регуляризирующего множителя, выбрав Этот результат показан на рис. 2,6,л. При параметре шум усиливается еще в большей степени (рис. 2.6,ж) и результат

фильтрации в данном случае соответствует гомоморфной (среднегеометрической) фильтрации. Заметим, что четкость на рис. 2.6,ж значительно выше, чем на предыдущих рисунках, однако шумовые осцилляции резко возросли. Попытаемся ослабить их выбором . Результат приведен на рис. 2.6,н. Если сравнить изображение на

Рис. 2.7. (см. скан) Графики интенсивностей одной из строк изображений рис. 2.6 а-о.

с ранее восстановленными изображениями, то можно убедиться, что разрешение его сходно с разрешением изображений на рис. и рис. однако некоторые мелкие детали, например циферблат, проступают более четко. Для сравнения на рис. показан результат восстановления изображения тихоновским фильтром при параметре Это не приводит к увеличению разрешения изображения.

На рис. представлены срезы интенсивностей одной и той же строки изображений, приведенных на рис. соответственно. При этом тонкие импульсные детали исходного изображения рис. 2.7,а соответствуют надписи на рис. 2.6,а.

Обсудим теперь основные достоинства и недостатки линейных методов восстановления. Основной положительной чертой линейных методов является прежде всего относительная простота их реализации. Это относится и к цифровым методам обработки с помощью ЭВМ и к аналоговым оптическим или электронным устройствам обработки сигналов. С учетом существующих быстрых алгоритмов спектральных преобразований на современных ЭВМ могут быть достаточно эффективно обработаны цифровые изображения разумных размеров Несложна реализация линейных фильтров также и в оптическом диапазоне (см. гл. 8). Из перечисленных особенностей линейных методов вытекает возможность их использования в широких масштабах с относительно малыми затратами времени и усилий (если речь идет о форматах порядка 512X512 элементов).

К сожалению, линейные методы не во всех случаях приводят к эффективному восстановлению. Можно перечислить следующие принципиальные недостатки линейных методов.

Во-первых, линейные методы восстановления не учитывают важного для изображений ограничения на неотрицательность решения. Это означает, что в выходном изображении, восстановленном линейным методом, могут появиться отрицательные выбросы, являющиеся паразитными осцилляциями сигнала. Действительно, легко проверить, что если к основному решению добавить осциллирующий член, такой, что интеграл по изображению от него равен нулю, то, не вводя ограничения на область значений решения, мы приходим к его неоднозначности. С другой стороны, если выходное изображение является неотрицательным, то осцилляции окажутся неокомпенсированными и не удовлетворят интегральному уравнению. Таким образом, линейные методы допускают существование осциллирующих решений с заходом в отрицательную область. То же самое

относится и к усилению шума в изображении: при применении операции инверсной фильтрации с регуляризирующими множителями мы получаем, что на тех участках изображения, в которых содержится шум, его флуктуации усиливаются, и для того чтобы скомпенсировать положительные выбросы шума в решении, неизбежно возникают отрицательные выбросы. Действие регуляризирующего множителя сводится только к сглаживанию этих выбросов, но не к их устранению. Учет ограничения на допустимую область значений устраняет возможность появления сильных флуктуаций, приводящих к решению, которое не удовлетворяет основному интегральному уравнению.

Во-вторых, линейные методы принципиально ограничены по полосе частот. Это вытекает, из того, что линейный оператор не может вызвать появление в частот, не содержащихся в Таким образом, линейные методы не могут восстановить информацию, лежащую за пределами частоты среза системы формирования.

В-третьих, если даже передаточная функция системы формирования не отрезает высоких пространственных частот в спектре изображения, неизбежные сильные осцилляции ограничивают возможность получения достаточного разрешения в изображении.

Из изложенного вытекает, что использование линейных методов оправдано в случае не слишком сильных искажений и зашумленности изображений (т. е. когда до наивысшей частоты в спектре изображения передаточная функция системы формирования не спадает ниже уровня шума), а также в тех случаях, когда существуют жесткие требования на время вычислений. В других случаях, а также, когда речь идет о задаче повышения разрешения, необходимы другие методы, позволяющие учесть ограничения, накладываемые на изображения, и расширить полосу пространственных частот. Отметим, что простой учет ограничения вида в задаче, например, оптимальной фильтрации делает ее нелинейной и существенно повышает требования к скорости и объему необходимых вычислений. Основной специфической особенностью нелинейных методов восстановления является отсутствие аналитических решений и, следовательно, необходимость применения сложных численных методов. Нелинейные методы восстановления изображений рассматриваются ниже.