1.3. МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ И ИСКАЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Различные модели формирования изображений можно разделить на две большие группы — детерминированные и статистические.

Типичным примером детерминированной модели является линейно-фильтровая модель, основанная на рассмотрении уравнения Фредгольма первого рода с ядром типа свертки:

В спектральной области для (1.21) получим выражений (1.18):

Линейно-фильтровая модель описывает большую часть задач, возникающих в оптике, акустике, радиовидении и т. п. В качестве примера приведем выражение для в некоторых важных для практики случаях:

Дефокусировка объектива. Дефокусировкой определяется большое количество искажений, возникающих в оптических системах. Можно показать, что передаточная функция линзы с круговой апертурой при дефокусировке имеет следующий вид [75]:

Здесь функция Бесселя первого рода; а — параметр дефокусировки. Физический смысл дефокусировки заключается в ослаблении высоких пространственных частот изображения в результате спада функции что приводит к уменьшению четкости воспроизведения мелких деталей. При сильной дефокусировке ослабление частот носит периодический характер.

Скоростной сдвиг изображения (смаз). Если объект и съемочная камера в процессе экспозиции движутся относительно друг друга с постоянной скоростью, то результирующее изображение оказывается «смазанным», на нем будут наложены различные участки объекта. Передаточная функция в такой системе оказывается равной

где а — параметр, определяемый скоростью движения.

Идеальное дифракционное ограничение. Представим себе, что система формирования не пропускает пространственные частоты изображения выше некоторой частоты причем спектр самого изображения простирается до некоторой предельной частоты

Тогда для такой системы определяется следующим образом:

или

где прямоугольное окно, определяемое правой частью выражения (1.24).

В пространственной области действие системы с передаточной функцией вида (1.24) эквивалентно свертке с весовой функцией вида

Атмосферная турбулентность при длительной экспозиции. Представим себе, что производится наблюдение некоторого удаленного объекта через слой турбулентной атмосферы, причем время наблюдения велико по сравнению с постоянной времени изменений в атмосфере, т. е. регистрация производится за время, в течение которого передаточная функция атмосферы успевает многократно измениться. Тогда передаточная функция «средней» атмосферной турбулентности определяется выражением

Часто на практике показатель степени в (1.26) опускают и считают, что может быть аппроксимирована гауссовой кривой, дисперсия которой является функцией атмосферных условий в районе наблюдения. Отметим, что гауссовская аппроксимация передаточных функций широко распространена и встречается в рентгенографии, электронной микроскопии и ряде других областей.

Характерной особенностью линейно-фильтровых моделей формирования является непосредственное сопоставление выхода входу посредством преобразования Таким образом, в фильтровой модели упускается из вида динамика искажения. Существует, однако, значительное число систем, изображение в которых искажается постепенно, по мере прохождения искажающей среды. Эти системы мы будем называть распределенными системами. К ним относятся турбулентные среды: атмосфера и гидроакустические каналы.

Наиболее естественным путем для описания распределенных систем является понятие эволюционного оператора [132]. Сравним уравнение (1.21) с эволюционным уравнением с дифференциальным оператором 38:

Здесь некоторый параметр, по физическому смыслу соответствующий времени распространения или расстоянию, которое сигнал прошел в среде. Пусть может меняться от 0, соответствующего началу распространения, до , соответствующего времени прохождения всей среды. По смыслу, уравнение (1.27) должно обладать следующими начальными и конечными условиями.

До прохождения среды изображение было неискаженным

Результатом полного прохождения среды является полученное изображение

Оказывается, что при выполнении условий (1.28), (1.29) уравнение (1.27) однозначно связано с (1.21), а решение (1.27) приобретает следующий вид:

Здесь означает дробную степень оператора. Таким образом, учет распределенности среды в форме эволюционного уравнения может привести к выбору дробной степени интегрального оператора формирования изображения. При получаем условие (1.28), а при получаем основное интегральное уравнение.

Для определения степени оператора необходимо воспользоваться его спектральным представлением. Не будем подробно останавливаться на определении спектра оператора, однако один частный случай представляет непосредственный интерес. Для линейного инвариантного оператора базис комплексных экспонент является собственным базисом. Его спектральным представлением является передаточная функция :

Для передаточной функции имеем

Представим в виде модуля и фазы:

Выбрав главный лист комплексной функции, получим

Это означает, что учету динамики искажения в распределенной среде соответствует дробная степень амплитудно-частотной характеристики искажающего фильтра и линейная модуляция его фазовой характеристики. Изложенный метод, кроме того, имеет прямую связь с задачей восстановления изображения температурного поля (обратной задачей диффузии). Возможно применение описанного метода

и к произвольной линейно-фильтровой модели (1.18). Для этого обозначим отношение через а, где а — параметр управления, такой, что

Для (1.18) имеем

Будем называть (1.34) управляемой фильтровой моделью, а описанный метод управления — эволюционной моделью формирования изображений. Произвольную сосредоточенную линейную систему можно условно представить в виде распределенной системы с параметром, соответствующим степени искажения объекта. Подобное представление является очень удобным при линейном восстановлении изображений [32, 83].

При прохождении изображений через флуктуирующую среду часто бывает необходимо получать информацию не только о средних характеристиках искажений, но и об их мгновенных параметрах. Для решения этой задачи необходимо более подробно рассмотреть случайные искажения изображений. Физический подход к решению дается теорией распространения волн в случайно-неоднородных средах. Математический формализм при этом является общим как для оптики, так и для акустики. При распространении света в атмосфере различные неоднородности хаотически искривляют волновой фронт, причем этот процесс очень сложен — неоднородности увлекаются ветром, возникают вихревые течения и т. п. В гидроакустике ситуация еще более сложная: на распространение звука в среде влияют флуктуации скорости смещения частиц воды, флуктуации температуры и солености. Характерное время искажений также весьма различно — например, в атмосфере могут наблюдаться общие течения и быстрые вихри, флуктуации, занимающие небольшие пространственные области, и движения больших масс воздуха в целом. Таким образом, учет влияния турбулентности является очень сложной задачей.

Нас интересует общая постановка задачи случайного искажения сигнала. Естественно ожидать, что общий подход может быть найден на основе теории случайных операторов, аналогично тому, как это было сделано для детерминированного случая. Случайный процесс будем рассматривать как функцию двух переменных одна из которых определяет случайность процесса. Случайным оператором будем называть оператор, который сопоставляет некоторой функции случайный процесс

где пространство элементарных событий [48]. Справедлива следующая простая теорема, являющаяся обобщением детерминированного случая. Для того чтобы случайный оператор мог быть представлен случайной сверткой, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие три условия:

1. Для любых функций определенных на некотором пространстве

2. Для любых функций и любых констант

3. Если оператор сдвига, то

Здесь всюду означает вероятность гипотезы. Эти три условия заключаются в том, что при любой возможной реализации действие оператора на функции всегда было ограниченным, линейным и коммутирующим со сдвигами. В частности, если выполнены условия (1.36) и (1.37), то можно гарантировать, что с вероятностью 1 действие случайной среды на изображение может быть представлено с помощью линейного интегрального уравнения

где случайная импульсная реакция системы. Если выполнено и условие (1.38), то приходим к случайной свертке

Случайный оператор отличается от детерминированного тем, что в общем случае нельзя дать однозначного ответа о том, выполняются ли условия (1.36) — поэтому значения вместо единицы могут быть равны соответственно где — уровни выполнения гипотез. Это означает, что от реализации к реализации, например, может выполняться или не выполняться свойство коммутации со сдвигами, причем вероятность некоммутации равна 7. Обозначим математическое ожидание, тогда для среднего наблюдаемого изображения получим сумму

средних операторов с весовыми коэффициентами для конкретных наборов гипотез (1.36) -(1.38):

Здесь вероятности выполнения гипотез (1.36) — (1.38); средний оператор для конкретной гипотезы, номер гипотезы.

Интересно, что при наблюдении изображений через атмосферу выполняется условие частичной коммутации с оператором сдвига, т. е. при наблюдении средней экспозиции в действительности наблюдается сумма изопланатической свертки и неоднородного искажения с весами Такая структура связана с возникновением мелкомасштабных вихрей турбулентности [56].

В целом, случайные системы формирования изображений можно характеризовать случайной передаточной функцией или суммой процессов случайной фильтрации и линейного искажения с неоднородным ядром. Как правило, при восстановлении сигнала накапливается информация о статистических характеристиках среды и на основе этой информации делаются попытки восстановления.

Остановимся на моделях, предполагающих, что изображение является некоторым статистическим объектом, и выдвигающих на этой основе гипотезы относительно процесса формирования [96, 115]. Рассмотрим схему формирования изображения (рис. 1.4). Пусть изображение объекта является энергетическим сигналом: Представим его в цифровом виде, для чего произведем необходимые операции дискретизации в пространстве и по уровню.

а) Дискретизация в пространстве. Из теоремы Котельникова следует, что при выборе периода дискретизации где верхняя пространственная частота в

Рис. 1.4. Схема формирования изображения, дискретизированного в пространстве и по уровню

Рис. 1.5. Идеальная система формирования

спектре изображения, можем представить в виде последовательности отсчетов:

б) Дискретизация по уровню. При представлении сигнала в цифровом виде каждый отсчет изображения может быть задан с точностью до конечного числа уровней интенсивности определенных разрядностью преобразования.

Упрощенным физическим аналогом проведенных операций может служить приближение светового поля «элементарными лучами», причем интенсивность испускаемого луча не может быть меньше некоторой минимальной интенсивности так что если некоторой точке объекта соответствует интенсивность излучения то она может рассматриваться в виде некоторого луча, состоящего из суммы лучей элементарной интенсивности:

Если система формирования идеальна, то на языке изложенной модели это соответствует случаю прямолинейного распространения лучей; если же среда формирования является искажающей, то происходит перераспределение энергии в пространстве. На рис. 1.5 и 1.6 показаны идеальное «геометрическое» формирование и случаи отклонения траектории лучей от прямолинейного распоостранения.

Рис. 1.6. Искажение распространения лучей

Рис. 1.7. Представление дифракционного ограничения на языке лучевой модели

На языке лучевой модели формирования можно качественно описать и дифракционное ограничение (рис. 1.7). При дифракционном ограничении один луч суммарной интенсивности расщепляется на большое число лучей, отклоняющихся от прямолинейной траектории; происходит расплывание первоначально точечного источника в дифракционное пятно.

Возникает естественный вопрос об описании преобразований лучей и их перераспределении в пространстве. Очевидно, что если пытаться прослеживать траекторию каждого луча в отдельности, учитывая все его преобразования, то поставленная задача очень усложнится. Поэтому необходимо искать некоторые интегральные характеристики преобразования. Такой характеристикой может служить вероятность перехода луча из точки объекта в точку изображения. Действительно, система будет полностью описана, если для каждой точки исходного изображения известна та часть лучей, которые придут в произвольную точку полученного изображения. Обозначим эту вероятность через Очевидна связь такого подхода с обычной линейной моделью формирования изображений: переходная вероятность есть просто нормированная импульсная реакция системы в дискретном виде

где коэффициент нормирования.

Таким образом, система формирования здесь представляется случайным каналом связи с переходной вероятностью Такой подход позволяет использовать методы статистической теории связи. Представим входное и

выходное изображения в виде плотностей вероятности Так как предполагалось, что изображение неотрицательно, нормировкой к суммарной интенсивности сигнала получим:

Выражения (1.42) — (1.43) можно использовать для описания линейной системы формирования с помощью байесовского правила вычисления полной вероятности:

Рассмотренная модель фактически является частным случаем общего подхода, разработанного в квантовой механике и применяющегося для решения волновых уравнений методом интегралов по траекториям. При этом имеется следующая аналогия между классическими и квантовыми величинами: комплексная амплитуда волнового поля соответствует амплитуде вероятности в квантовой механике, а плотность вероятности соответствует интенсивности.

Пусть имеется ансамбль состояний комплексное поле амплитуд, которые мы будем трактовать как входное изображение (объект), и ансамбль , который является выходным изображением. Тогда амплитуда вероятности в выходном изображении определяется следующим образом:

где комплексная функция, называемая пропагатором системы. Определение функции является сложной задачей. Рассмотрим две точки в плоскости объекта и изображения (рис. 1.8). Пропагатор определяется как сумма вкладов по всем возможным траекториям, объединяющим точки

где комплексные амплитуды. При этом основную роль играет различие в фазах для различных траекторий.

В случае некогерентного формирования наибольший вклад в дает лишь одна траектория, определяемая классическим принципом наименьшего действия. Наличие неидеальной системы формирования в этом случае

Рис. 1.8. К вопросу определения переходной вероятности методом интегралов по траекториям

можно трактовать как введение в уравнение некоторого потенциала, искажающего траектории, а весовая функция системы может быть определена как квадрат пропагатора:

Рассмотренную модель формирования изображений будем называть лучевой моделью формирования. Лучевая модель является удобной при рассмотрении различных задач, связанных с нахождением статистических характеристик изображений и процессов искажения. Кроме того, такая модель оказывается априорно согласованной с важным свойством изображений — их неотрицательностью.

Остановимся на определении статистических характеристик изображений. Во многих прикладных задачах принято определять гистограмму изображения, которая соответствует относительной частоте уровней яркости в изображении [44] , где - общее число повторения уровня, общее число элементов в изображении. Изображение часто является весьма сложным статистическим объектом с нестационарным поведением и сложными корреляционными связями между элементами. Использование гистограммы предполагает изучение лишь нулевой статистики при независимости соседних элементов изображения. В рамках этого предположения определяется и энтропия изображения:

Так как этот способ определения статистических характеристик игнорирует пространственное распределение яркости, на наш взгляд, применительно к задаче восстановления изображений, лучше использовать параметры, основанные на лучевой модели формирования. Представление

изображения как плотности вероятности позволяет использовать следующие меры энтропии и информации. Энтропию источника, в частности, можно определить следующим образом:

где — отсчеты входного изображения. Заметим, что эта мера энтропии была известна в статистической оптике как энтропия световых пучков [35]. Пользуясь аппаратом теории информации, можно ввести также меру информации, содержащуюся в принятом изображении относительно переданного:

На использовании введенных здесь информационных мер для описания изображений и процессов искажения основаны многие методы восстановления, которые будут рассмотрены в гл. 3.