1.4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ КАК ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Для того чтобы найти восстановленное изображение, необходимо сконструировать обратный оператор задачи, т. е. решить обратную задачу.

При решении обратных задач естественно возникают следующие вопросы:

Существует ли решение основного интегрального уравнения?

Если решение существует, то является ли оно единственным?

Устойчиво ли решение, т. е. приводят ли малые изменения исходных данных соответственно к малым изменениям решения?

Если решение существует, является единственным и устойчивым, то задача называется корректно поставленной. В противном случае задачу называют некорректно поставленной или просто некорректной. Задачи восстановления изображений, как правило, оказываются некорректными. В связи с этим целесообразно более подробно рассмотреть отмеченные ранее вопросы.

Существование решения. В практических задачах восстановления сигналов и изображений мы обычно уререны

в существовании входного сигнала Это означает, что если решение задачи не существует, то это можно объяснить лишь неадекватностью математической модели реальной ситуации. Вопрос о существовании решения все же необходимо рассмотреть для того, чтобы познакомиться с классом функций, которые в принципе могут быть решением обратной задачи. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения

тесно связан с условиями, налагаемыми на ядро и правую часть Решение может не существовать вообще, либо существовать не для всякой правой части. Например, если ядро имеет непрерывную производную по то и правая часть уравнения тоже должна иметь непрерывную производную по Если же правая часть содержит точки, в которых функция не имеет производной (этот случай встречается, например, когда воспроизводимый график оказывается ломаной линией), то очевидно, что при наличии ядра с непрерывной производной уравнение (1.47) не имеет решения в классическом смысле. Таким образом, существование решения зависит от того, к каким классам (пространствам) функций по сути задачи относятся входное и выходное изображения: Естественно, уравнение (1.47) имеет решение (в классическом смысле) только для таких правых частей, которые принадлежат образу множества функций при отображении

Пусть ядро уравнения (1.47) является симметричным ядром:

В этом случае для существования решения уравнения (1.47) необходимо, чтобы функция разлагалась по собственным функциям ядра

Здесь коэффициенты разложения функции относительно собственных функций ядра

а собственные функции удовлетворяют интегральным уравнениям вида

где собственные значения (собственные числа) ядра Заметим, что симметричность ядра гарантирует существование собственных значений и их действительность, а также ортогональность собственных функций, отвечающих различным собственным значениям.

Пусть система собственных функций симметричного ядра является полной, причем (предполагается, что ). Тогда уравнение (1.47) имеет решение, принадлежащее и притом единственное, тогда и только тогда, когда ряд

сходится. Это утверждение составляет содержание теоремы Пикара.

Если считать, что просто некоторое непрерывное ядро, то можно показать, что уравнение (1.47) может не иметь решения в Классе Например, если ядро является многочленом по переменной

то левая часть уравнения (1.47) будет иметь вид

и, следовательно, такой же вид должна иметь правая часть (1.47). В частности, если ядро уравнения (1.47) равно то уравнение имеет решение только для таких правых частей которые являются линейной функцией Отсюда следует, что если функция — произвольная непрерывная на то при данном ядре (1.49) уравнение (1.47) не имеет решения.

Рассмотрим теперь интегральное уравнение типа свертки (1.17)

Согласно теореме о свертке в спектральной области это уравнение может быть представлено линейно-фильтровой моделью (1.18):

где - фурье-образы функций соответственно передаточная функция системы, спектр входного и выходного изображений. Из уравнения (1.50) получим

и с помощью обратного преобразования Фурье найдем решение уравнения:

Однако такое решение существует и принадлежит если только соблюдаются следующие условия:

Если функция не ограничена (например, когда непрерывная и при некоторых значениях обращается в нуль), то при произвольно выбранной функции уравнение (1.17) может не иметь одного решения. Однако и в этом случае формула обращения сохраняет силу, если выполнено условие (1.53в) и функция обращается в нуль только на множестве нулевой меры.

Единственность решения. Критерий единственности решения уравнения (1.47) с симметричным ядром в пространстве дается теоремой Пикара о сходимости ряда (1.48). Для однозначного решения здесь существенно важным оказывается условие полноты системы собственных функций ядра

Пусть, например, существуют не равные нулю почти всюду функции такие, что

Тогда если -решение уравнения (1.47), то функция

где произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения и, следовательно, решение определяется неоднозначно.

Для уяснения сущности неоднозначных решений рассмотрим уравнение типа свертки (1.17), решаемое методом преобразования Фурье. Предположим, что на некотором интервале ограниченном точками вещественной оси, передаточная функция системы тождественно равна нулю: в то время как на том же интервале Тогда согласно равенству (1.50) при прибавлении к произвольной функции равной нулю вне интервала вид функции не изменится и решение (1.52) удовлетворяется не только функцией

но и функцией

где - индикаторная функция интервала

Следовательно, решение уравнения (1.17) в этом случае можно записать в виде

где - произвольная функция, фурье-образ которой равен нулю вне множества .

Если функция обращается в нуль лишь в некоторых точках то и в этом случае остается неопределенность. Тогда решение (1.52) удовлетворяется как функцией

так и функцией

а искомое изображение равно

где произвольные постоянные.

Следовательно, уравнение (1.17) не имеет единственного решения, когда фурье-образ ядра уравнения — передаточная функция системы формирования некоторых точках или в некоторой области вещественной оси обращается в нуль.

Этот факт играет важную роль в теории восстановления изображений. По существу, он означает, что если спектр входного изображения содержит гармоники, совпадающие с нулями передаточной функции то эти гармоники не сказываются на наблюдаемом изображении и, следовательно, не могут быть однозначно восстановлены из него.

Передаточные функции реальных систем формирования часто имеют «нулевые» точки или области. Например, в оптике передаточная функция объектива (частотно-контрастная характеристика) при сильной дефокусировке или при «смазе» изображения, происходящем вследствие относительного движения аппаратуры и объекта наблюдения, равна нулю в некоторых точках (см. (1.22), (1.23)). Сюда же можно отнести проблему дифракционного предела, когда части спектра, лежащие вне полосы пропускания системы, не участвуют в формировании выходного изображения. Входные изображения, спектры которых отличаются вне полосы пропускания, а внутри ее совпадают, создают одно и то же изображение. В общем случае, когда исследуемое изображение является финитной функцией, отличной от нуля только на некотором участке оси это утверждение неверно в силу теоремы об аналитическом продолжении спектра (см. § 5.1). Однако в реальной физической ситуации ничтожный шум, имеющийся в изображении, не позволяет однозначно восстановить спектр изображения за пределами полосы пропускания (см. гл. 5). В этом не было большой беды, если бы протяженность спектра изображения была бы не шире полосы пропускания системы формирования, причем внутри полосы пропускания передаточная функция не обращалась бы в нуль ни в каких точках. Однако реальные изображения часто имеют широкий спектр, а передаточная функция системы формирования может иметь нулевые точки внутри полосы

Рис. 1.9. Пример неоднозначного восстановления изображения: а — спектр изображения и передаточная функция системы; б - восстановленный спектр

пропускания. Пример такой ситуации иллюстрируется рис. 1.9. На рис. 1.9,а приведены спектр некоторого изображения с широким спектром и передаточная функция системы имеющая полосу пропускания, ограниченную интервалом кроме того, обращающаяся в нуль в точках и внутри этого интервала. На рис. показан спектр неоднозначно восстановленного изображения, содержащий функцию полученную по формуле (1.54).

Для однозначного восстановления изображения в указанной ситуации необходимы какие-то принципы отбора единственного «истинного» решения среди всех возможных, основанные на дополнительной априорной информации об изображении. В частности, можно воспользоваться методами интерполяции и экстраполяции функций, если используемая априорная информация позволяет как-то ограничить класс возможных функций и ее можно использовать для устранения неоднозначности решения. Интересно, что даже на первый взгляд незначительная дополнительная информация о протяженности (длительности) восстанавливаемого изображения или об его положительности часто позволяет снять неопределенность решения.

Устойчивость решения. Выше мы считали, что правая часть основного интегрального уравнения (1.47) известна точно, без ошибок. На практике ошибки измерения неизбежны и вместо уравнения с точно известной правой частью приходится решать это уравнение с приближенной правой частью известной с точностью у:

Это было бы вполне приемлемо, если решение уравнения (1.47) было бы устойчиво к малым изменениям правой части.

Дадим строгое определение устойчивости решения. Пусть каждому элементу отвечает единственное

шение получаемое по некоторому правилу Тогда решение из пространства по исходных данным из пространства называется устойчивым на этих пространствах, если для любого можно указать такое число что из неравенства следует где

При таком определении решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с ядром, принадлежащим или оказывается неустойчивым. Это объясняется тем, что оператор уравнения действующий в или в и переводящий функцию в функцию по правилу

является вполне непрерывным оператором: он отображает всякое ограниченное множество элементов в компактное множество элементов Критерием того, что оператор является вполне непрерывным, может служить условие:

которое соблюдается для весовых функций реальных систем.

Из теории интегральных уравнений известно, что оператор, обратный вполне непрерывному, не ограничен. Поэтому, если два близких между собой элемента из пространства и оба уравнения разрешимы, то соответствующие решения могут сильно отличаться друг от друга в пространстве

Таким образом, сколь угодно малая погрешность в определении правой части уравнения (1.47) может привести к сколь угодно большой ошибке в решении.

В качестве примера рассмотрим две функции : произвольную функцию и функцию

и предположим, что ядро уравнения

является непрерывной функцией по переменной Очевидно, что если функция является решением уравнения (1.56) с правой частью то функция определяемая (1.56), является решением уравнения (1.56) с правой частью

Уклонение правых частей имеет вид

а уклонение соответствующих решений в метрике С равно

При данном значении аргумента функция

стремится к нулю, когда Поэтому без дальнейших вычислений ясно, что при любом сколь угодно большом числе А можно подобрать столь большое значение со, что уклонение правых частей (1.57) окажется меньше любого сколь угодно малого числа у, в то время как уклонение соответствующих решений (1.58) может быть сколь угодно большим. Положение не меняется, если уклонение решений оценивать также в метрике . В этом случае

и легко видеть, что числа могут быть выбраны так, что при как угодно малых уклонениях правых частей уклонение соответствующих им решений, вычисляемое по формуле (1.59), может быть произвольным. Таким образом, ядро уравнения (1.56) может «сгладить» даже интенсивную, но высокочастотную аддитивную составляющую изображения до малого уровня, тем меньшего, чем выше ее частота.

Природу неустойчивости решения легко выяснить, рассматривая уравнение типа свертки

и решая его методом преобразования Фурье в случае, когда

Если правая часть уравнения известна приближенно и содержит аддитивную помеху то фурье-образ восстановленного изображения согласно (1.51) равен

где — спектры функций соответственно. Так как , то

Решение уравнения свертки с приближенной правой частью формально прлучим из равенства (1.60) с помощью формулы (1.52):

Ошибка точного решения уравнения с приближенной правой частью (второй член в (1.61)), естественно, случайная из-за случайного характера помехи Дисперсия решения задачи равна:

где -спектральная плотность шума:

Так как передаточная функция системы стремится к нулю при а реальная помеха обычно содержит компоненту белого шума (и, следовательно, ) стремится к конечному пределу при дисперсия решения

задачи, оцениваемая по формуле (1.62), оказывается бесконечной.

Из-за наличия помехи возникают те высокочастотные составляющие изображения которых не должно быть в «истинной» функции Они делятся согласно (1.61) на малые числа и при дают в решении бесконечно большие осцилляции. Даже если помеха не содержит компоненты белого шума и при , то из-за случайного характера помехи стремление к нулю функций может оказаться «несогласованным» и спектральная плотность ошибки будет либо бесконечной, либо конечной, но недопустимо большой.

Таким образом, в качестве оценки решения уравнения свертки с приближенно известной правой частью нельзя брать точное решение этого уравнения, так как такое решение не обладает свойством устойчивости к малым отклонениям правой части из-за влияния высоких частот фурье-образа мешающей составляющей

Для более общего уравнения (1.56) с приближенной правой частью отметим, что вследствие неустойчивости решения этому уравнению соответствует бесчисленная совокупность функций для которых Поэтому неустойчивость решения приводит, по существу, к неоднозначности восстановления изображения. Как было показано выше, среди функций (элементов) есть такие, которые сколь угодно сильно отличаются друг от друга. Поэтому не все элементы совокупности можно брать в качестве решения уравнения (1.56). Здесь также необходимы какие-то принципы отбора возможных решений, пусть даже эвристические. Иначе, решая основное интегральное уравнение с приближенной правой частью, мы рискуем получить некоторое ложное решение, содержащее неопределенно большие высокочастотные компоненты.

Расхождение интеграла (1.62) происходит за счет высоких частот. Поэтому простой, но эффективный способ отбора приближенных решений, устойчивых к отклонениям правой части состоит в подавлении высоких частот наблюдаемой функции. При этом для того, чтобы не утратить полезных высокочастотных составляющих восстанавливаемого изображения, здесь желательно использовать всю априорную информацию о задаче, например, данные о статистических характеристиках изображения и шума или же информацию о характере гладкости решения и поведении его фурье-образа и спектра помехи на высоких частотах.

Следует отметить, что если в практических задачах восстановления

изображении мы обычно уверены в существовании решения основного интегрального уравнения (причем часто допускается единственность решения), то неустойчивость решения является неотъемлемым свойством таких задач, делающим их некорректно поставленными. Решать их трудно из-за неизбежных ошибок регистрации наблюдаемого изображения — шумов системы формирования и регистрации.