ГЛАВА 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

4.1. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Итерационными методами (методами последовательных приближений) решения задач называют такие методы, в которых по известному приближению ищется следующее,

более точное приближение. Простейшим примером итерационного алгоритма может служить преобразование решения в решение при помощи поправок, вычисленных разложением в некоторый ряд.

Итерационные методы в последнее время находят все более широкое применение в практике восстановления изображений, так как в некоторых случаях они допускают простой учет важных для задач восстановления ограничений непосредственно в схеме итерационного алгоритма и тем самым представляют собой альтернативу методам нелинейного программирования, описанным в предыдущей главе. Основным вопросом применения итерационных методов является сходимость итераций. Для некоторых типов ядер основного интегрального уравнения доказаны общие положения о сходимости последовательных приближений.

Например, пусть -симметричное, положительно определенное ядро, принадлежащее причем и пусть уравнение

однозначно разрешимо. Тогда последовательность определяемая соотношением

где

и наибольшее собственное значение ядра, сходится в среднем к решению уравнения (4.1) [61].

Рассмотрим (4.1) в операторном виде и предположим, что существует обратный оператор:

Обратный оператор можно разложить в ряд Неймана:

где выражение соответствует целой степени оператора, — единичный оператор, т. е. Тогда

выражение (4.3) может быть представлено в следующем виде:

Таким образом, процесс нахождения решения можно интерпретировать, как нахождение поправок к искаженному изображению:

К сожалению, сходимость ряда Неймана зависит от весовой функции системы формирования. Если не интересоваться вопросом сходимости приближений, то разложение в ряд Неймана формально можно применить к решению любого интегрального уравнения, выделив ту часть ядра уравнения, которая отличается от -функции. Это леко сделать для уравнения типа свертки, учитывая, что преобразование Фурье от -функции равно единице. Принимая во внимание то, что

получим

или

Если система формирования слабо искажает изображения, то второй член является лишь небольшой добавкой к первому и, следовательно, можно применить метод разложения в ряд Неймана.

Нетрудно видеть, что разложению оператора в ряд Неймана соответствует представление члена в виде геометрической прогрессии:

Если учесть только первый член ряда (4.7), то решение примет вид:

Используя биномиальную формулу, получим

Решение, позволяющее учесть членов ряда (4.7), можно представить в виде

где функция выражается следующим образом:

Здесь

Легко убедиться, что с помощью приведенных выражений можно составить последовательность решений удовлетворяющих рекуррентным соотношениям вида

или

Приведенные соотношения позволяют вычислить каждое последующее приближение по предыдущему и составляют основу метода Бургера — Ван Циттерта [60]. Из сопоставления выражений (4.2) и (4.9) видно, что условия сходимости определяются приведенной выше теоремой.

В принципе, можно определить поправки к начальному решению, разлагая в произвольный функциональный ряд:

Здесь важно, чтобы такое разложение сходилось и позволяло при вычислении поправок заменить операции над определяемые совокупностью других операций, определяемых последовательностью которые более удобны для вычислений.

Подставляя (4.10) в (4.6) и меняя порядок интегрирования и суммирования, получим

Рассмотрим разложение в степенной ряд

По аналогии с (4.11) находим

Учитывая свойство преобразования Фурье

получим

Таким образом, разложению в степенной ряд соответствует представление через и его производные. Следовательно, применение такого разложения можно рассматривать как прием, позволяющий перейти от интеграла свертки к породившему его дифференциальному уравнению.

Смысл итерационных алгоритмов в их простейшем виде, рассмотренном в этом параграфе, сводится к тому, что прямое применение обратного оператора (в случае уравнения свертки — инверсного фильтра) заменяется на последовательность шагов, причем на каждом следующем шаге решение все больше приближается к исходному. Распространенность этого метода на первоначальных этапах работ по восстановлению изображений объясняется простотой борьбы с неустойчивостью решения исследуемых задач. Дело в том, что всегда можно остановить итеративный процесс, если шум в изображении резко усилился. Математически этот прием означает отбрасывание в ряде Неймана членов, превышающих некоторый номер что дает ограничение полосы частот инверсного фильтра. Поэтому в изложенном варианте итерационные алгоритмы не имеют никаких преимуществ по сравнению с линейными алгоритмами восстановления — в том числе по сравнению с фильтрацией с ограничением полосы частот.

Итерационные алгоритмы, однако, приобретают ряд значительных преимуществ, если их структура усложняется. В частности, оказывается, что в общую структуру итерационного алгоритма можно ввести нелинейные ограничения, сделав тем самым алгоритм нелинейным.

Существующие итерационные алгоритмы можно разделить на три больших класса.

1. Алгоритмы на основе нерасширяющих операторов.

2. Алгоритмы на основе метода проекций на выпуклые множества.

3. Алгоритмы на основе алгебраических методов.

В последующих параграфах мы рассмотрим типичные алгоритмы этих классов, в том числе приведем некоторые результаты, касающиеся регуляризации итерационных процессов восстановления,