2.2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ

Решения сложного интегродифференциального уравнения вида (2.7) по методу регуляризации А. Н. Тихонова можно избежать в задаче восстановления изображений, искаженных однородной линейной системой. В такой задаче исходное уравнение приводится к уравнению типа свертки

которое решается с помощью преобразования Фурье по формуле (1.52):

Как было показано ранее для получения устойчивого решения подынтегральное выражение формулы (1.52) следует умножить на некоторую функцию достаточно быстро убывающую при увеличении , и такую, чтобы интеграл в правой части (1.52) не расходился при Определим эту функцию согласно § 2.1 так, чтобы она зависела от параметра а и запишем ее в виде Решение, полученное по формуле (1.52) после умножения подынтегрального выражения на можно рассматривать, как результат применения к правой части уравнения (1.52) некоторого оператора

Этот оператор является регуляризующим, если действительная функция удовлетворяет следующим условиям [53]:

определена в области для всех значений и со имеем

для всякого -четная функция по , принадлежащая для всякого при

Функция удовлетворяющая этим условиям, называется стабилизирующим множителем.

Перечисленным условиям, накладываемым на стабилизирующий множитель удовлетворяют различные семейства регуляризирующих операторов. Цель рассмотрения различных семейств операторов — для каждого конкретного класса задач выбрать наилучший оператор, например, такой, который минимизирует уклонение регуляризированного решения от точного или который наиболее соответствует физическому смыслу задачи и удобнее при машинной реализации.

Из общих соображений о мерах борьбы с помехами (см. § 1.5) следует, что при выборе стабилизирующих множителей в задачах восстановления изображений желательно обеспечить такое «сгибание» инверсной передаточной функции соответствующей точному решению (1.52), при котором передаточная функция восстанавливающего фильтра стремится к нулю при приближении к граничной частоте (рис. 1.11,б). Этому отвечает стабилизирующий множитель вида

которому соответствует следующая передаточная функция восстанавливающего фильтра:

Здесь -квадрат модуля весовой функции системы — комплексно-сопряженная величина по отношению к а -заданная неотрицательная четная функция, кусочно-непрерывная на любом конечном отрезке оси частот, причем

в) для всякого передаточная функция -ливающего фильтра (2.14) принадлежит

Можно показать, что регуляризованное решение, определяемое по формуле [53]

минимизирует выражение

со стабилизирующим функционалом

где — фурье-образ функции

Используя равенство Планшереля и теорему о свертке, этот функционал можно представить в виде

где спектральная плотность мощности восстанавливаемого изображения Полагая

где заданные неотрицательные константы и по формуле (2.17), используя соотношение между производными в пространственной области и их преобразованием Фурье, можно определить стабилизаторы порядка, аналогичные стабилизаторам (2.2) с постоянными коэффициентами. Простейшие стабилизаторы получим, полагая где произвольное положительное число. Если — нецелое число, то стабилизатор (2.16) будет содержать функцию, которую можно рассматривать как производную «нецелого порядка». В дальнейшем будем рассматривать только простейшие стабилизаторы с целыми .

После выбора значение параметра регуляризации можно находить по невязке. Если уклонение правой части оценивать в метрике то квадрат расстояния между функциями (невязка) будет вычисляться по формуле

Для обоснования способа нахождения а по невязке достаточно доказать монотонность возрастания функции с ростом а, учитывая, что Так как

то

где спектральная плотность мощности наблюдаемой функции Очевидно, что и

Кроме того, стремится к и

Это доказывает, что невязка (2.18) регуляризованного решения — строго возрастающая функция переменного а, изменяющаяся от 0 до Следователыно, мы можем находить число из условия так как существует единственное число для которого При этом должно выполняться условие . В противном случае уравнение не имеет решения.

На практике приближенное значение а часто находят следующим образом. Задается последовательность чисел к — целые положительны числа). Для каждого вычисляют регуляризованное решение и по

нему определяют невязку . В результате получают неубывающую последовательность чисел Из этих чисел выбирают ближайшее к числу квадратической ошибке задания правой части Пусть это будет Тогда в качестве а берут Следует отметить, что зависит от выбора функции Если пользоваться простейшими стабилизаторами то можно заметить, что с увеличением порядка регуляризации величина а убывает. Вместе с тем, практика работы показывает, что не очень значительные отклонения а от оптимального значения не приводят к существенным ошибкам в решении.

Попробуем теперь определить вид стабилизирующего множителя в случае, когда при решении уравнения типа свертки в задачах восстановления изображений используется дополнительная априорная информация о некоторых статистических характеристиках изображения и шума.

Пусть точное решение уравнения свертки с правой частью Полагаем, что — случайный шум. Таким образом, считаем, что есть реализация случайного процесса и, следовательно, приближенные решения являются также реализациями случайной функции. Будем также считать, что функции являются реализациями стационарных, некоррелированных между собой случайных процессов, а информация о характеристиках этих процессов представлена в виде их спектральных плотностей, которые будем обозначать соответственно

Среди операторов будем искать такой, который минимизирует величину Очевидно, что

где спектры Фурье реализаций соответственно, причем

Заметим, что — действительная четная функция, а другие функции в - комплексные. Поэтому

(см. скан)

Так как предполагалась некоррелированность процессов

то два последних интеграла в (2.20) равны пулю. Кроме того, для стационарных случайных процессов

Спектральные плотности мощности являются фурье-образами соответствующих корреляционных функций

Теперь, учитывая (2.21), представим (2.20) в виде

Интегрируя в последнем двойном интеграле по переменной и пользуясь фильтрующим свойством -функции, получаем

Из условия экстремальности функционала (2.23) на функциях

обеспечивающего минимум этого функционала (так как вторая производная положительна), находим, что его минимум достигается на функции

Сравнение (2.24) с (2.13) показывает, что стабилизирующий множитель минимизирующий среднее квадратическое уклонение восстановленного сигнала от истинного, не зависит от параметра регуляризации , а роль стабилизатора в (2.24) играет функция

Передаточная функция восстанавливающего фильтра, аналогичная (2.24), имеет вид:

а восстановленный сигнал, получаемый на выходе фильтра, может быть представлен формулой

аналогичной (2.15).

Выражение (2.25) есть не что иное, как передаточная функция так называемого оптимального фильтра Винера,

позволяющего получить изображение, близкое к истинному в смысле минимума среднеквадратичного отклонения при условии, что спектры плотности мощности изображения и шума априорно известны. Эту формулу можно также вывести с помощью методов оптимальной линейной фильтрации сигналов [59].