4.5. ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ С ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ОГРАНИЧЕНИЙ

В этом параграфе будет рассмотрен важный для практики класс итерационных алгоритмов восстановления, в которых на каждом шаге производятся вычисления в пространственной и спектральной области с помощью псевдодифференциальных операторов.

Под псевдодифференциальным оператором понимается в общем случае оператор А, действующий на произвольную функцию следующим образом:

где соответственно операторы прямого и обратного преобразования Фурье, а некоторый оператор, действующий в спектральной области. Понятие псевдодифференциального оператора возникло в связи с тем, что когда является оператором умножения на функцию , где произвольное положительное число (не обязательно целое), А оказывается оператором -кратного дифференцирования, так как [2]. Свертка также является частным случаем применения псевдодифференциального оператора, когда 2) является оператором умножения спектров функций, участвующих в свертке. Применение (4.63) связано с удобством его использования для введения ограничений в спектральной области.

Типичным примером применения псевдодифференциальных операторов является алгоритм Фиенупа [89] для определения фазы преобразования Фурье по модулю спектра изображения (так называемая фазовая проблема). Остановимся на нем подробнее.

Пусть результатом преобразования Фурье изображения является спектр с заданным модулем , где — соответственно модуль и фаза спектра. В большинстве практических приложений имеются данные о модуле преобразования Фурье, но отсутствует информация о фазе (например, в оптике и спекл-интерферометрии). Исследуемое искажение изображения, оставляющее лишь модуль спектра, может быть адекватно записано нелинейным псевдодифференциальным оператором вида (4.63) с оператором определяющим умножение на функцию

Рассмотрим (4.63) как обычное уравнение искажения изображения

Будем считать изображение неотрицательным в пространственной области и возможно принадлежащим классу функций с ограниченной пространственной протяженностью. Не вдаваясь в конкретную форму, обозначим суммарный оператор ограничений в пространственной области через и запишем Нам известно, что в спектральной области модуль изображения равен значению Это условие эквивалентно применению некоторого псевдодифференциального оператора :

где действие сводится к замене модуля спектра на его известный модуль. Применим к (4.64) итерационный подход, описанный в предыдущихпараграфах, получим:

Раскрывая структуру оператора находим

Преобразовывая (4.67), приходим к следующему соотношению:

Заметим, что член

в итоге равен так как оператор в (4.64) действует как оператор, убирающий фазу изображения, а модуль спектра равен априорно известному Таким образом, мы приходим к алгоритму

Смысл алгоритма Фиенупа (4.69) заключается в последовательных итерациях в спектральной и пространственной областях (рис. 4.5). На каждой итерации модуль заменяется на известный, а фаза сохраняется. В пространственной области выполняется ограничение на неотрицательность решения, т. е. все отрицательные участки приравниваются к нулю. Характерно, что для (4.69) выбор начального приближения и параметра не играет роли.

Остановимся на сходимости алгоритма Фиенупа. Очевидно, сходимость зависит только от свойств операторов ограничений.

Рис. 4.5. Структурная схема алгоритма Фиенупа Для анализа этих свойств рассмотрим норму

Здесь Раскрывая оператор ограничений в фурье-области, находим

Возникает вопрос о том, является ли (4.70) более «близким» расстоянием, чем обычное расстояние вида

Для ответа на этот вопрос рассмотрим эти выражения в спектральной области, воспользовавшись теоремой Парсеваля. Вместо (4.70) получим

Раскрывая это выражение, находим

Аналогично вместо (4.71) получим

Сравнение выражений (4.72) и (4.73) показывает, что общем случае нельзя дать гарантию того, что интеграл (4.72) будет меньше (4.73) и в общем случае итерационный процесс (4.69) не сойдется. То, что оператор 6 не является сжатием, можно понять, исходя из метода проекций на выпуклые множества. Действительно, пусть С — множество всех функций, имеющих одинаковые модули спектра Тогда сигналы с фазой принадлежат С. В этом случае

Для значения это выражение равно нулю, что доказывает тот факт, что множество С не выпукло [120, 142]. Однако экспериментально было обнаружено что если в качестве начального приближения выбрать такой сигнал который достаточно близок к решению, то сходимость алгоритма Фиенупа весьма удовлетворительна. Кроме того, необходимо учитывать, что ограничения в пространственной области могут ослаблять требования на сам оператор спектральных ограничений.

Итерационному алгоритму на основе (4.69) можно предложить альтернативный алгоритм, восстанавливающий модуль фурье-образа по его фазе. Пусть операторы ограничений являются псевдодифференциальными операторами следующего вида:

Поступая так же, как и при выводе (4.69), находим

где оператор ограничений в пространственной области. Заметим, что снова

где заданная фаза спектра.

Таким образом, получим итерационный процесс, аналогичный (4.69):

В отличие от алгоритма Фиенупа, итерационная схема (4.74) сходится. Чтобы показать это, рассмотрим норму

где

Раскрывая это выражение, получим

Это эквивалентно

Для случая сигналов без ограничений, вместо (4.75) имеем

Фактически это означает, что

и равенство выполняется только при Действительно, множество всех функций с одинаковой фазой спектра выпукло. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим комбинацию функций :

Видим, что результирующая функция имеет ту же самую фазовую характеристику.

Таким образом, в случае, когда известна только фаза спектра, можно найти решение в отличие от случая, когда известен лишь модуль. Это связано, по-видимому, с тем, что при восстановлении изображений важна роль фазы. Известно, что незначительные отклонения фазы от истинной вызывают в решении большие отклонения, чем соответствующие погрешности модуля [135].

В задачах с ограничениями на спектральную и пространственную информацию особенно остро встает вопрос о непротиворечивости используемых ограничений, так как во всех случаях должна быть уверенность в существовании решения, удовлетворяющего всем наложенным на него ограничениям.

Во многих практических приложениях известен не только модуль спектра, но и информация (часто искаженная)

о низкочастотной составляющей фазовой характеристики. Так, например, дело обстоит при наблюдении изображений прошедших через турбулентную атмосферу, когда принятое изображение соответствует искажению типа свертки, содержащему информацию о малой низкочастотной части фазовой характеристики. Здесь встает вопрос о создании алгоритма, учитывающего все известные ограничения. При построении такого алгоритма нам необходимо учесть уравнение формирования изображения ограничение на неотрицательность решения ограничение на пространственную протяженность и псевдодифференциальный оператор, учитывающий знание модуля спектра: . Таким образом, для полного оператора ограничений имеем

Включая (4.78) в общую итерационную схему с регуляризацией, получим

Выражение (4.79) дает алгоритм обращения свертки с ограничениями, накладываемыми на пространственную и спектральную область. Условием сходимости (4.79), очевидно, является условие вида

из которого следует, что суммарный оператор является сжатием. Можно показать что комбинированный оператор является нерасширяющим, так как ограничение на пространственную протяженность позволяет однозначно (в отсутствие шумов) определить спектр по его низкочастотной составляющей, а операция уравнивания модулей спектров при помощи не приводит к возрастанию ошибки. Решение (4.79) должно давать более качественное решение, так как кроме информации о модуле спектра в (4.79) используется также добавочная информация о низкочастотной части фазового спектра.