ГЛАВА 6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ, НАБЛЮДАЕМЫХ ЧЕРЕЗ ТУРБУЛЕНТНУЮ СРЕДУ

6.1. МЕТОД СПЕКЛ-ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ

Как уже говорилось, большая часть задач восстановления изображений возникает в связи с искажениями, связанными с прохождением сигнала через случайно-неоднородные

среды. Турбулентность атмосферы в оптической астрономии и океана в гидроакустике являются главным фактором, ограничивающим получение сигналов с высоким разрешением в этих областях.

Задача восстановления изображений, искаженных турбулентностью, была впервые решена в спекл-интерферометрии [116]. Спекл-интерферометрия — название, пришедшее из астрономии. «Спекл» (speckle) в английском языке означает зернышко, пятнышко. Изображения звезд в оптической астрономии при короткой экспозиции имеют зернистую спекл-структуру, что связано с интерференцией частично когерентных участков волнового франта. Лябейри предложил вместо среднего изображения наблюдать среднюю автокорреляцию изображения, аналогичную изображениям, получаемым в интерферометрии. Отсюда появилась спекл-интерферометрия. Мы будем рассматривать более общую постановку задачи — восстановление произвольных изображений, прошедших через турбулентную среду. Замечательно, что метод, разработанный для спекл-интерферометрии, применим и в этом, более общем случае.

Наиболее общий вид задачи наблюдения источника через турбулентную среду представлен на рис. 6.1. Мы считаем, что некоторый протяженный объект наблюдается через область турбулентности; принятое излучение регистрируется системой формирования.

Специфика случайного канала уже частично обсуждалась в гл. 1. Основной ее смысл, применительно к ситуации, изображенной на рис. 6.1, заключается в том, что если на входе системы мы имеем детерминированное изображение , то на ее выходе получаем случайный процесс (поле) , т.е. изображение, флуктуирующее случайным образом вследствие случайного процесса искажения. Процесс искажения в наиболее общем виде записывается случайным оператором

Рис. 6.1. Схема наблюдения объекта через турбулентную среду

где случайный шум, накладываемый на изображение. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только линейных непрерывных случайных операторов и будем считать, что выполнены условия:

где вероятность события.

Это позволяет записать общее выражение для случайного искажения в виде

где случайная весовая функция системы. Отметим, что выражение (6.2) в общем случае имеет сложную внутреннюю структуру и статистические свойства могут быть достаточно сложны.

Случайное изображение (6.2) несет в себе определенную информацию об Отметим, что в общем случае (6.2) рассматривается как ансамбль реализаций случайного поля Простейшей операцией, которая может быть выполнена с (6.2), является усреднение по реализациям. Обозначив через математические ожидание, получим

где — средняя весовая функция системы. Режим усреднения естественным образом реализуется при использовании длительных экспозиций в астрономии: при большой экспозиции астрономического изображения на одной фотопластинке фиксируется сумма большого числа «мгновенных» изображений. Напротив, при любой достаточно короткой экспозиции мы производим как бы дискретизацию ансамбля во временной области, получая набор «мгновенных» изображений [56]

где

В формуле -мгновенная весовая функция для момента наблюдения. Операция усреднения в ансамбле (6.4) производится следующим образом:

Как средняя, так и мгновенные весовые функции могут обладать весьма интересными свойствами, краткий обзор которых приводится далее.

Начнем с анализа средней весовой функции и ее связи с «мгновенной» весовой функцией Предположим, что функция не обладает свойством инвариантности, т.е. и что случайный оператор не коммутирует с оператором сдвига. Интересно, что в этом случае усредненный оператор, представленный средней весовой функцией может быть инвариантным:

Объяснение этого факта состоит в следующем: мгновенные искажения изображения порождаются разнонаправленными флуктуациями с неоднородной структурой относительно некоторого среднего однородного искажения. Соответствующий случайный оператор можно записать следующим образом:

где линейный оператор, коммутирующий со сдвигами, случайный неоднородный оператор, при котором Выражение (6.7) означает, что случайная весовая функция представлена в виде

где

Случаем, противоположным (6.6), является неинвариантность среднего оператора

Выражения (6.6) и (6.8) для представления случайного оператора напоминают соответственно свойства стационарности и нестационарности случайных процессов, перенесенные на понятия однородности и неоднородности искажений. Промежуточным между (6.6) и (6.8) случаем является такая структура оператора, что вероятность

коммутации с оператором сдвига лежит между нулем и единицей:

где - вероятность некоммутации (см. § 1.3). Структура, подобная (6.9), может возникнуть, например, в случае «спокойной» турбулентности, характеризующейся лишь редкими локальными вихрями, нарушающими общую неоднородность [56].

Специальным случаем (6.6) является «идеальный» канал, в котором все мгновенные искажения обладают свойством инвариантности (см. (1.38)):

Это эквивалентно выполнению равенства для всех . Тогда, очевидно,

Неприятной особенностью средней весовой функции системы является то, что ее характерный размер иногда существенно превышает характерный размер объекта наблюдения [80]. Это означает, что размытие сигнала в режиме наблюдения среднего изображения может быть чрезвычайно велико.

Необходимо отметить, что до недавнего времени режим усреднения был основным режимом при регистрации изображений, прошедших через турбулентные среды. Ситуация изменилась, когда стало ясно, что переход в режим коротких экспозиций (оперирование с ансамблем изображений) позволяет избавиться от многих неприятных свойств, связанных со структурой среднего оператора. Действительно, операции, производимые над ансамблем вида (6.4), позволяют находить его различные статистические характеристики. В частности, можно определить статистические свойства случайной весовой функции системы в частотной области.

Пусть представляет собой преобразование Фурье от весовой функции в которой пространственные частоты, элемент пространства случайных событий шей.

В общем случае спектр функции выражается следующим образом:

Здесь преобразование Фурье изображения преобразование Фурье мгновенной весовой функции .

Запишем выражение для среднего квадрата модуля спектра

и раскроем это выражение:

Для выяснения характера поведения (6.12) проанализируем выражение

Здесь возможны несколько случаев.

1. Все мгновенные искажения обладают свойством однородности, т. е.

Тогда произвольная функция может быть представлена в виде

В этом случае интеграл (6.12) приводит к формуле:

Как будет показано далее, эта формула является основой классического метода спекл-интерферометрии.

2. Предположения об однородности сделать нельзя и в общем случае справедливо (6.12). Рассмотрим структуру случайного оператора вида (6.7), когда усредненный оператор

обладает пространственной инвариантностью. Мгновенная функция из (6.13) может быть представлена в следующем виде:

где среднее значение случайной «добавки» близко к нулю:

В этом случае (6.13) приобретает вид

Обозначим

и для (6.12) получим

В предположении однородности случайной функции находим

или

В данном случае

Это означает, что в некоторых случаях можно ожидать такую структуру квадрата модуля спектра, которая содержит квадрат средней передаточной функции .

3. Свойство коммутации со сдвигами выполнено лишь частично (см. (6.9)). В этом случае

Рис. 6.2. Изображение волнового фронта Для среднего квадрата получим сложную структуру:

Если мало, то (6.19) можно аппроксимировать только первой составляющей; если также предположить однородность , то (6.19) можно свести к выражению вида (6.18).

Изложенные результаты относятся к произвольным случайным системам формирования. Частным случаем подобных систем является турбулентный атмосферный канал, свойства которого рассмотрим в оптической астрономии.

Волновой фронт, распространяющийся через атмосферу, искажается при наличии неоднородностей диэлектрической проницаемости. Статистический характер поведения этих неоднородностей весьма сложен, так как в конечном итоге определяется совокупностью различных условий вместе наблюдения, в том числе и климатических. Предположим, что первоначально плоский фронт электромагнитной волны исказился в процессе прохождения атмосферы (рис. 6.2). Фронт приходящей волны характеризуется рядом параметров — углом наклона (3, определяющим отклонение фронта волны от нормали; радиусом когерентности скоростью перемещения неоднородностей и структурной функцией разности хода представляющей собой средний квадрат флуктуаций разности хода Известно, что структурная функция может быть представлена в следующем виде [46]:

а весовую функцию атмосферы, полученную решением волнового уравнения со случайным потенциалом, можно записать

Это означает, что средняя весовая функция атмосферы и соответственно средняя передаточная функция имеют приблизительно гауссовский вид. При наблюдении удаленных объектов средняя весовая функция примерно в 10 раз шире мгновенной и, соответственно, средняя передаточная функция атмосферы в 10 раз уже мгновенной. Это иллюстрируется рис. 6.3, на котором изображены передаточные функции системы для мгновенной экспозиции и среднего изображения в логарифмическом масштабе. Таким образом, при наблюдении удаленных объектов средняя экспозиция оставляет лишь 1/10 ширины спектра изображения, т. е. 9/10 полезных пространственно-частотных составляющих подавляется, а характерное размытие изображения возрастает примерно на порядок. Физическую причину этого легко понять, рассматривая упрощенно динамику формирования изображения (рис. 6.4). На рис. 6.4,а показан случай идеального распространения светового пучка, формирующего хорошее изображение. На рис. 6.4,б, в изображены возможные направления отклоненного пучка в различные моменты времени. На рис. показано среднее размытое изображение. Модель искажения, представленная нами на рис. 6.4, предполагает, что отклоняется весь волновой фронт и в каждый момент времени мы получаем просто смещенное изображение источника. Это означает, что спектр изображения в момент умножается на некоторый случайный фазовый сдвиг где величина сдвига,

Если гауссовская случайная величина, то средний спектр равен:

Рис. 6 3. Характерные передаточные функции: а — идеальной системы; б - средняя передаточная функция; в — средний квадрат модуля передаточной функции

Рис. 6.4. Упрощенная схема искажения изображения

где дисперсия величины Если дисперсия велика, то член сильно ослабляет высокие частоты изображения. Казалось бы, что ситуация, изображенная на рис. 6.4, дает ключ к простому решению задачи: достаточно сделать одну короткую экспозицию и получить хорошее изображение. Но это, к сожалению, невозможно по ряду причин. Во-первых, энергия наблюдаемых астрономических объектов часто настолько мала, что за время короткой экспозиции принимаются единицы фотонов, так что на практике необходимо многочасовое накопление сигнала. Во-вторых, структура мгновенной передаточной функции атмосферы также описывается неоднородным фазовым полем.

Сложная статистическая структура турбулентности приводит к неоднородным искажениям пучка. Известно возникновение кратковременных и мелкомасштабных вихрей турбулентности, так же как крупномасштабных изменений в спокойной атмосфере. Если крупномасштабные искажения вызывают общий наклон волнового фронта как единого целого, то характерный размер локальных вихрей обычно невелик. Такие вихри вызывают локальные возмущения волновых фронтов. Если это изложить согласно теории операторов, то получаем частичную коммутацию со сдвигами, т. е. возможность как однородного искажения, так и неоднородного с заданными уровнями вероятностей. В-третьих, при достаточной монохроматичности излучения на изображении возникает спекл-структура, образуя характерную зернистую текстуру. Спекл-структура фактически подавляет изображение шумами.

Необходимо подчеркнуть, что аналогичная ситуация существует в задачах гидроакустики, связанных с турбулентностью жидкости. В акустическом диапазоне также возникает характерная спекл-структура, а математический аппарат для обоих случаев практически совпадает.

Отмеченные обстоятельства заставляют искать более совершенные методы регистрации излучения. Можно предположить, что искажения, вносимые атмосферой, носят преимущественно фазовый характер и выражаются в изменении наклона фронта волны. Поэтому можно ожидать, что работа с модулем спектра изображения позволит избавиться от случайных фазовых искажений. Нельзя, однако, оставлять без внимания случай неоднородных искажений (6.12). Так как для атмосферы средняя весовая функция заведомо изопланатична, то справедливо представление (6.7) и (6.17).

Представим средний квадрат модуля спектра искаженного изображения в виде

где - некоторая спектральная функция, определяемая неоднородными искажениями, передаточная функция средней изопланатической системы, средний квадрат суммарной передаточной функции системы, который равен

в случае полной инвариантности мгновенной передаточной функции системы и в случае однородной случайной весовой функции.

Заметим, что функция достаточно широка; она простирается вплоть до дифракционного предела, так как по смыслу описывает дисперсию случайных отклонений от среднего искажения [76, 77].

Метод спекл-интерферометрии базируется на формуле (6.20) и заключается в оценке модуля спектра изображения, исходя из знания только квадрата модуля искаженного изображения. Действительно, с помощью обычной инверсной фильтрации можно легко восстановить [84, 116]:

При этом знание эквивалентно знанию автокорреляции исходного изображения, так как

Информация об автокорреляции во многих случаях позволяет сделать количественную оценку угловых размеров объекта и даже его структуры. Например, в астрономии

автокорреляционная функция изображения достаточна для того, чтобы определить, является ли объект двойной звездой. В том случае, когда требуется определить более сложные параметры изображения, алгоритм, основанный на (6.21) (его называют также алгоритмом Лябейри), не дает желаемого результата.

В случае неоднородных искажений, когда (6.20) не выполняется, ситуация также осложняется, так как выражение для квадрата модуля спектра приобретает значительно более сложную структуру с однородной и неоднородной частью. Для такой ситуации метод спекл-интерферометрии не применим.

Отметим также, что если в (6.20) учесть аддитивный шум, возникающий при накоплении спектров, то задача (6.21) становится некорректной аналогично обычной инверсной фильтрации. Действительно, с учетом аддитивного шума (6.20) переписывается следующим образом:

где — фурье-преобразование некоторого эффективного шума в системе. Тогда вместо (6.21) получим

В тех участках спектра, в которых стремится к нулю, шум может резко возрасти и тем самым исказится значение .