5.2. СВЕРХРАЗРЕШАЮЩИЕ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГОРИТМОВ

Попытки практического использования теоремы об аналитическом продолжении спектра с помощью той или иной вычислительной процедуры привели к поиску других алгоритмов, способных расширить полосу пространственных частот. Если алгоритм восстановления, входом которого является изображение с полосой на выходе выдает

изображение с полосой , такой, что то алгоритм называется сверхразрешающим, а эффект возникновения новых частот в спектре — сверхразрешением. Эта ситуация изображена на рис. 5.2, где все операции, производимые внутри алгоритма, изображены общим блоком выходом которого является На рис. 5.3 приведены спектры изображения являющегося входом алгоритма, и изображения плучаемого на выходе.

Рис. 5 2. Сверхразрешающирг алгоритм

Первые сообщения об эффекте сверхразрешения при восстановлении появились в связи с методом максимальной, энтропии, с помощью которого удалось разделить два импульсных объекта, разнесенных на расстояние, меньшее, чем Отметим, что пока речь не идет о задаче восстановления исчезнувших частот: мы практически только констатируем факт появления новых частот не содержащихся в искаженном изображении.

Возникает естественный вопрос о причинах сверхразрешающих свойств нелинейных алгоритмов. Для решения этой задачи будем опираться на методы восстановления, описанные в гл. 3 в связи с некорректными задачами оптимизации.

Рассмотрим класс функционалов, представленных в следующем виде [75, 114]:

где некоторая нелинейная функция. Если пропорциональна то мы тем самым приходим к классу квадратичных функционалов. В общем случае

Рис. 5.3. К вопросу экстраполяции спектра при помощи нелинейного алгоритма

будем рассматривать функцию определяющую нелинейный функционал вида энтропии

Рассмотрим простейший случай, когда ограничения задаются только на процесс формирования изображения (теоретико-информационные алгоритмы), а шумами в принятом изображении можно пренебречь. Пусть нам известно отсчетов искаженного изображения

Задача состоит в минимизации функционала

Используя известный принцип вариационного исчисления, представим в виде , где решение, а Тогда в точке оптимума получим

Из уравнения (5.13) вытекает требование равенства нулю подынтегрального выражения

Для функции вида находим

или

Обозначим

и окончательно получим выражение для :

Отметим, что функция имеет ту же полосу частот, что и а функция нелинейна т. е. в решении будут содержаться новые частоты, не содержавшиеся в анализируемом изображении. Это действие нелинейной функции напоминает известное из нелинейной радиотехники преобразование частоты: в спектре сигнала, поданного на нелинейный элемент, содержатся новые частотные составляющие.

Проведенная интерпретация расширения полосы пространственных частот ставит, однако, больше вопросов, чем решает их. Из выражения (5.15) ясно, что характер экстраполяции спектра определяется выбором функционала-критерия задачи Для примера на рис. 5.3 приведены два возможных вида экстраполяции спектра: 1 — «слабый», 2 — «сильный», отличающиеся между собой выбором различных нелинейных функционалов и не связанных с физическим смыслом задачи.

Совершенно очевидно, что для каждого класса изображений, имеющего свой характер поведения спектра на высоких частотах (например, скорость убывания), необходимо выбрать свой функционал, характер нелинейного преобразования которого был бы согласован с необходимым поведением спектра. Количественная оценка расширения полосы частот также весьма затруднительна и достаточна трудно определить то отношение при котором новые частотные составляющие еще влияют на решение.

Решение вида (5.15) не только добавляет новые частотные составляющие, но автоматически удовлетворяет ограничению на неотрицательность изображения. Тем самым мы получаем решение, которое состоит из двух частей, низкочастотной и высокочастотной :

и, кроме того, .

Это означает, что из всех возможных вариантов экстраполяции спектра мы выбираем более узкий класс решений, для которого Это обстоятельство позволяет объяснить возможность восстановления информации за пределами частоты пропускания, однако не снимает вопроса об ее доверительности, так как строгих количественных характеристик «узости» соответствующего класса решений не существует.

Другим классом нелинейных алгоритмов восстановления, который был рассмотрен в гл. 4, являются итерационные алгоритмы с нелинейными операторами ограничений. Действительно, обращаясь к итерационной схеме обращения свертки с ограничениями на положительность и (или) пространственную протяженность, получим итерационный лроцесс:

Как было показано в § 4.4, этот итерационный процесс может сойтись, даже если в некоторой области спектра Это означает, что на каждой итерации в решение добавляются новые частотные составляющие, не содержащиеся в спектре изображения . В соответствии с операторами ограничений решение приобретает вид, близкий к (5.16).

Таким образом, нелинейные алгоритмы можно отнести к классу сверхразрешающих алгоритмов. Вопрос о том, насколько полученные частотные составляющие соответствуют истинному решению, остается открытым. Здесь требуются новые математические результаты, касающиеся возможности существования решения и введения необходимой априорной информации, дающей возможность единственного восстановления.

Основным соображением, относящимся к решению задачи сверхразрешения, является использование максимального числа априорных ограничений. С точки зрения метода проекций на выпуклые множества каждое из ограничений сужает область неопределенности решения, и, следовательно, получаемая оценка становится ближе к истинному изображению

Такой подход предполагает включение в общую схему восстановления дополнительных ограничений на изображение и тем самым получение экстраполяции спектра с повышенным качеством. Мы считаем, что решение задачи сверхразрешения этим методом наиболее перспективно (см. также § 5.3).

Между тем, частичное решение проблемы может быть найдено в последовательном применении линейного и нелинейного оператора. Идея этого метода заключается в следующем. Предположим, что дифракционно ограниченное изображение восстанавливается с помощью некоторого нелинейного алгоритма, действие которого (независимо от того, итерационный это алгоритм или основанный на минимизации нелинейного функционала) описывается нелинейным оператором

причем содержит частоты до где частота среза системы формирования, содержит частоты вплоть до где — наивысшая частота в спектре изображения:

Спектр имеет структуру

где истинный спектр изображения . В этом случае можно предположить, что в классе линейных операторов, действующих на существует такой, что

где исходное изображение. Действительно, нам известна часть спектра, которая лежит от до Тогда с помощью фильтра

мы можем вернуться к исходному изображению, если не содержит нулей. Совмещая (5.17) и (5.18), получаем, что может существовать такой линейный оператор при котором

или, иначе говоря,

где единичный оператор.

Методу на основе (5.19) соответствует структура алгоритма, состоящего из двух блоков: выполняющего нелинейное преобразование, и выполняющего операцию уравнивания (рис. 5.4). К сожалению, подобрать необходимый оператор не всегда легко. Однако в случае, когда

Рис. 5.4. Алгоритм, использующий линейное уравнивание спектров

отношение незначительно отличается от единицы и когда основные энергетические составляющие изображения уже восстановлены, хорошее приближение к можно получить, используя бесфазовый оператор, согласующий энергетический спектр полученного изображения с энергетическим спектром прототипа. Пусть энергетический спектр прототипа равен тогда получим

Частотная характеристика уравнивающего фильтра, таким образом, равна

Физический смысл (5.20) состоит в согласовании поведения модуля составляющей спектра с априорно известным. Так, например, если в решении завышены высокие частоты, то (5.20) несколько сгладит решение; если же мощность высоких частот недостаточна, использование (5.20) может сделать решение более четким. Однако применение (5.20), как и любого линейного алгоритма, не гарантирует нас от возможности появления осцилляций решения.

Несмотря на то, что экстраполяция с помощью нелинейных алгоритмов приводит к бесчисленному множеству решений, полученное изображение совпадает с априорно заданным вплоть до частоты среза системы формирования. Более высокие частоты выбираются алгоритмом таким образом, чтобы удовлетворить априорным ограничениям, наложенным на изображение. Вопрос о том, какие ограничения приводят к хорошим результатам, рассматривается в следующем параграфе.