1.2. ОСНОВНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Анализ конкретных систем формирования изображений приводит к выводу о необходимости подробного изучения

вопросов, связанных с представлением операторов формирования.

Будем рассматривать функции, описывающие изображения, как элементы некоторого функционального пространства. В дальнейшем для сокращения записи будем использовать в качестве аргумента функции одну координату, так как обобщение на двумерный случай тривиально.

Пусть входное изображение принадлежит пространству а выходное — пространству Обозначим расстояния между функциями в пространствах через Введем также норму функции, обозначаемую через Физические ограничения на изображение позволяют ограничиться пространствами Напомним основные определения, необходимые для дальнейшего изложения. Пространство составляет множество всех функций, интегрируемых на промежутке таких, что . Норма функции в пространстве определяется формулой . Соответственно расстояние между функциями:

К пространству относят множество всех функций, интегрируемых в квадрате на т. е., по существу, сигналов с ограниченной энергией

Норма в дается формулой

Здесь всюду интеграл понимается в смысле Лебега. В пространствах функции, отличающиеся на множестве нулевой меры, считаются тождественными.

Пространство составляет множество всех непрерывных функций, заданных на Норма в определяется выражением

Системы формирования, рассмотренные в § 1.1, позволяют записать уравнения формирования, исходя из физического смысла задачи. Произвольная система формирования может быть классифицирована по свойствам оператора (см. выражения (1.1) и (1.2)) следующим образом.

Линейность. Это требование означает, что для любых двух функций и произвольных постоянных выполнено соотношение

Иначе говоря, при линейном операторе реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций.

Непрерывность и ограниченность. В чисто математическом смысле требование непрерывности означает, что если существует последовательность функций сходящаяся к то действие оператора не нарушает этой сходимости, т. е. Замечательно, что для линейных

раторов требования непрерывности и ограниченности совпадают, т. е. достаточно требовать выполнения следующего условия: где некоторая действительная константа. Физический смысл условия ограниченности означает, по существу, что преобразованию изображения с ограниченной энергией соответствует изображение также с ограниченной энергией. Это требование выполняется во всех физически осуществимых системах.

Коммутация с оператором сдвига. Введем оператор сдвига, действие которого на функцию может быть представлено следующим образом: где некоторая константа. Оператор называется коммутирующим со сдвигами, если В оптике это условие называется условием изопланатичности или пространственной инвариантности. Оно означает, что реакция на входное воздействие не зависит от выбора точки его приложения. Пространственно-инвариантные (однородные) системы играют очень большую роль в большинстве задач обработки изображений [7, 50].

В функциональном анализе принято интегральное представление функций, соответствующее их разложению по некоторому базису. Например, произвольная функция может быть записана следующим образом:

Здесь -непрерывное представление или функция

плотности относительно базисного ядра Аппарат базисного представления является мощным и удобным средством при изучении вопросов представления операторов. Отметим, что выражению (1.6) соответствует обратное преобразование:

Здесь в ядро обратного отображения. Пусть входное и выходное изображения принадлежат пространству и могут быть разложены по одному и тому же базису

Тогда для линейного оператора

Таким образом,

где .

Выберем в качестве базисного ядра дельта-функцию Дирака Тогда, очевидно, (1.6) и (1.7) соответствуют тождественному преобразованию, т. е. Для оператора получаем

Таким образом,

Выражение (1.9) соответствует общей форме представления произвольного линейного оператора Нетрудно видеть, что формула (1.9) полностью совпадает с приведенными выше уравнениями формирования (1.3) и (1.4) в случае функций одной переменной. Функция здесь приобретает смысл реакции системы формирования на импульсное входное воздействие и полностью характеризует систему. В физике называется функцией Грина системы, в радиотехнике — импульсной переходной характеристикой, в оптике — функцией рассеяния точки, в

спектроскопии — аппаратной функцией и т. д. Пользуясь терминологией теории систем, мы называем ее весовой функцией системы. Уравнение (1.9) играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений и называется уравнением Фредгольма первого рода с ядром

Существует несколько отличный подход к теории линейных систем, основанный на использовании линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка с переменными коэффициентами

В операторном виде это уравнение записывается следующим образом: Очевидно, что оператор является обратным к т. е. где тождественный оператор. Таким образом, задача, решаемая теорией дифференциальных уравнений, является прямой задачей — по виду входного изображения определить выходное изображение Нас же интересует обратная задача — определение информации о входном воздействии по виду отклика т. е. обращение пространственно-временных связей.

Если бы коэффициенты дифференциального уравнения (1.10) были известны, то решение обратной задачи можно было бы найти непосредственно из (1.10). Однако вся информация о системе, как правило, содержится в знании ее весовой функции, а решение обратной задачи сводится к решению уравнения (1.9). В дальнейшем мы будем называть (1.9) основным интегральным уравнением.

Остановимся на вопросах описания нелинейных систем, т. е. на представлении нелинейного оператора Если нелинейность не сводится к простому преобразованию где — нелинейная функция, то для анализа нелинейных систем можно использовать разложение в ряд Вольтера. Этот ряд имеет следующий вид: 00 00

где ядра системы. Можно показать, что некоторые нелинейные системы описываются достаточно точно первыми двумя членами ряда или суммой

обычной линейной системы с весовой функцией и «билинейной» системы с ядром Отметим, что отличительной особенностью нелинейных систем является невозможность определения их характеристик по элементарным входным воздействиям типа дельта-функции.

Вернемся к рассмотрению основного интегрального уравнения. На практике часто используется представление (1.6) с базисным ядром комплексных экспонент: Эти базисные ядра соответствуют частотному представлению изображений через преобразование Фурье. Действительно, из (1.6) имеем

Обратное преобразование имеет вид

Преобразование Фурье изображения называется его спектром, где — пространственная частота. Спектральное представление является основным аппаратом исследования линейных систем, поэтому отметим используемые в дальнейшем свойства преобразования Фурье. Теорема Парсеваля. Пусть тогда

Теорема Бореля о свертке. Определим операцию свертки, обозначаемую

Пусть Тогда

т. е. преобразование Фурье свертки равно произведению спектров функций, участвующих в свертке.

Теорема автокорреляции. Определим функцию автокорреляции, символически обозначаемую

Тогда

т. е. преобразование Фурье от функции автокорреляции равно квадрату модуля спектра функции

Замечательным свойством линейных операторов является то, что в случае коммутации оператора с оператором сдвига, основное интегральное уравнение приобретает вид свертки:

Операция свертки обладает коммутативностью: Свертка является ассоциативной, т. е. выполняется следующее соотношение:

Удобство частотного представления (1.17) вытекает из теоремы о свертке. Действительно, пусть и — фурье-образы соответственно Тогда

Уравнение (1.18) описывает фильтровую модель системы формирования. Из него следует, что действие системы формирования на изображение выражается в умножении спектра входного изображения на передаточную функцию фильтра описывающую свойства системы с той же полнотой, что и весовая функция

В дальнейшем нам придется встречаться с различными формами записи основного интегрального уравнения. Выражение (1.9) представляет собой интегральную форму записи непрерывной задачи. При решении обратных задач численными методами пользуются сведением основного интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений:

где значения соответственно весовой функции, сигнала и отклика в точках отсчета. Дискретизация состоит в выборе некоторого интервала изменения разбиении всего изображения на частей и определении отсчетов Если частота отсчетов достаточно велика (например, выбрана из условия теоремы Котельникова), то задание последовательности отсчетов

эквивалентно заданию самой функции. Уравнение (1.9) представляют в матричной форме

где матрица коэффициентов вектор отсчетов искомого изображения; вектор отсчетов известного изображения. Уравнение (1.20) будем называть алгебраическим представлением основного интегрального уравнения.

Мы уже упоминали дельта-функцию Дирака. Напомним, что функция определяется как бесконечный импульс в точке и равна нулю всюду, кроме этой точки. Не затрагивая вопросов теории обобщенных функций, мы будем обращаться с -функцией как с обычной функцией, принимая во внимание ее следующие свойства:

симметрию

инвариантность к масштабу аргумента

так называемое фильтрующее свойство

фактически представляющее собой определение -функции в теории обобщенных функций. Последнее выражение и свойство симметрии выражают тот факт, что свертка какой-либо функции с дельта-функцией равна самой функции. Таким образом, если система формирования является идеальной, то ее весовая функция равна дельта-функции и она без искажений повторяет входной сигнал