6.2. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Недостатки метода Лябейри побудили искать более совершенные алгоритмы, позволяющие находить фазовую характеристику изображения, имея в распоряжении ансамбль мгновенных спектров искаженных изображений.

Рассмотрим модель атмосферного канала в предположении полной однородности (изопланатичности) мгновенных искажений:

где -мгновенная передаточная функция канала. Для мгновенной фазовой характеристики искаженного изображения получим:

Фаза исходного изображения неизменна во всех

мгновенных снимках, в то время как фаза весовой функции атмосферы случайна. В предположении, что является случайным процессом с нулевым средним, получим следующее приближенное равенство:

Достаточно найти среднюю фазовую характеристику для набора мгновенных снимков для того, чтобы получить оценку фазы исходного изображения:

Алгоритм, использующий (6.26), был предложен Л. Г. Содиным [49].

Приблизительно те же соображения лежат в основе алгоритма Мак Гламери, предусматривающего усреднение комплексных логарифмов спектров [134]:

Мнимая часть найденной суммы в (6.27) соответствует фазе исходного изображения:

К сожалению, в рамках даже столь простой модели использование изложенных алгоритмов наталкивается на значительные трудности. Первая из этих трудностей с первого взгляда незаметна. Она связана с многозначностью фазовой характеристики, а именно, с тем обстоятельством, что усреднение (6.27) или (6.26) даст правильный результат только в случае использования истинной (непрерывной) фазы, а не ее главного значения. Поясним это подробнее. Представим себе, что при обработке на вычислительной машине для каждого изображения вычисляется его преобразование Фурье, которое затем разделяется на модуль и фазу. Вычисляются при этом только главные значения фазы, т. е. значения, лежащие в интервале Обратимся теперь к рис. 6.5,а. На нем изображены фазовые характеристики некоторых произвольных изображений. На рис. 6.5,б приведено главное значение фазы, получаемое в численном эксперименте. Теперь представим себе, что вместо усреднения набора непрерывных кривых, аналогичных кривой на рис. 6.5,а, мы усредняем главные значения фазы. Очевидно, что весь

участок около точки перехода через становится недоверительным, что иллюстрируется кривыми 1, 2 и 3 на рис. 6.5,а и б. Если на рис. 6.5,а точка 2 является средней для 1 и 5, то на рис. 6.5,б образ точки 2 существенно удаляется от истинного. Указанную трудность, казалось бы, довольно просто разрешить — достаточно прибавить к фазе в пределах корректирующую последовательность, состоящую из целого числа :

Однако необходимо прибавлять при каждом пересечении фазовой характеристикой значения , а пересечение с трудно обнаружить. Проблема восстановления истинного значения фазы называется также «разворачиванием» фазы [129, 134].

Вторая трудность в применении описанных алгоритмов, основанных на среднем значении фазовой характеристики, связана с их чувствительностью к шумам. Действительно, при регистрации мгновенных изображений в них неизбежно присутствует шум, часто весьма значительный. Рассмотрим аддитивный шумовой член со спектром

Запишем выражение для фазы:

Если шум достаточно мал, то членом в знаменателе можно пренебречь. В результате получим

где эквивалентная фаза шумов, вносящая дополнительные искажения. Поскольку нелинейно связана

Рис. 6.5. Искажения при усреднении фазовой характеристики: а — непрерывные фазовые характеристики, б - главное значение фазы

с сигналом, то среднее значение этого процесса не всегда оказывается равным нулю. Таким образом, возникают нелинейные искажения фазовой характеристики, приводящие к неустойчивости решения.

Дополнительные трудности начинают также возникать, если учесть, что мгновенные искажения не обязательно однородны. В общем случае мы имеем некоторое неоднородное искажение, которое записывается следующим образом:

Фазовая характеристика в этом случае не может быть представлена суммой двух членов и усреднение может дать неверный результат. Рассмотрим, например, результат усреднения фаз для случая искажений, представляющих собой сумму однородного и неоднородных искажений вида (6.7). Фазовая характеристика системы в этом случае представляет собой сумму двух слагаемых:

где - часть фазовой характеристики, связанная с однородными искажениями, -фазовая характеристика, связанная с неоднородными искажениями, но не связанная явно с Таким образом, метод усреднения фазы может приводить к значительным ошибкам решения.

Существует другой метод определения фазовой характеристики изображения, называемый также алгоритмом Нокса — Томсона. Он основан на вычислении следующей функции [116, 117]:

где малый частотный сдвиг.

Усредненная передаточная функция обладает нулевой фазовой характеристикой. Действительно, поскольку фазовые характеристики функций имеют симметричное распределение вероятностей, разность их также имеет симметричное распределение и, следовательно, среднее

имеет нулевую фазу.

Теперь запишем фазу комплексной функции (6.31):

Левая часть (6.32) есть значение фазовой характеристики, получаемое из измерений. Если мало, то

Отсюда следует, что фазовая характеристика может быть получена интегрированием

Этот метод не требует каких-либо специальных процедур «разворачивания» фазы, так как достаточно пользоваться лишь главными значениями.

Рассмотрим влияние шумов на алгоритм (6.31). Пусть справедлива модель аддитивного шума:

Тогда (6.31) можно переписать следующим образом:

В предположении статистической независимости сигнала и шума перекрестные члены в этом выражении можно положить равными нулю. Тогда получим

Добавочный член определяющий шум, здесь близок к спектру мощности шума, который для белого шума приблизительно постоянен и может быть скомпенсирован. Так как фазовая характеристика согласно (6.33) находится путем усреднения ансамбля изображений, а не фаз отдельных мгновенных снимков, влияние шумов несколько меньше. Следовательно, алгоритм восстановления (6.33) можно считать более устойчивым к шумам во входных данных [134].

Рассмотрим теперь влияние на алгоритм (6.31) неоднородной структуры мгновенных искажений. Ясно, что функция при малых близка к следовательно, алгоритм Нокса — Томсона будет давать лучшие результаты, чем алгоритмы усреднения фазы.

Оба описанных ранее алгоритма все же некорректны главным образом из-за неустойчивости к ошибкам в исходных данных. Так, например, в алгоритме Нокса — Томсона небольшая ошибка в исходных данных должна накапливаться при определении фазовой характеристики на более высоких частотах, так как последующее значение фазы определяется по предыдущему. В обоих алгоритмах фазовая характеристика системы может быть представлена в виде:

где - случайный шумовой член. То же самое относится и к определению модуля спектра:

где — некоторая шумовая добавка к данным. Поэтому небольшие уклонения полученных значений фазы и модуля преобразования Фурье от исходных приводит, как мы видели в предыдущих главах, к резкому ухудшению решения, свойственному любым некорректным задачам.

В заключение параграфа кратко остановимся на методах восстановления изображений, известных как метод голографии и метод маскирования. Основой этих методов является предположение о том, что рядом с исходным объектом расположен точечный источник и суммарное изображение, поступающее на входе системы формирования, может быть записано следующим образом: где - величина сдвига точечного источника относительно центра объекта. После применения алгоритма Лябейри в пространственной области получим автокорреляционную функцию

Если достаточно велика для того, чтобы сдвинутые изображения источников не перекрывались, то данный метод является прямым аналогом голографии — информация о фазе сохраняется путем использования опорного источника. Подобный прием в астрономии и акустике к сожалению может быть использован лишь для достаточно узкого класса объектов, содержащих близко расположенные точечные источники [28, 121].