3.4. УЧЕТ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Априорная информация, которая используется при решении обратных задач, исключительно разнообразна. Здесь мы попытаемся перечислить некоторые наиболее часто встречающиеся виды априорных ограничений, накладываемых на решение, и обсудить их значение для восстановления изображений.

1. Ограничение на область допустимых значений решения. Простейшим примером ограничения этого класса может служить требование неотрицательности решения, которое вытекает из структуры изображения, как распределения интенсивностей:

Интересно, что учет такого простого и естественного условия приводит к резкому улучшению качества решения. Это

где прямоугольное окно:

Таким образом,

Простейшим примером подобного ограничения может быть случай, когда при наблюдении некоторого астрономического объекта априорно известен его угловой размер и заранее известно, что неискаженное изображение должно содержаться в некоторой области размера

Дуальным к выражению (3.42) является ограничение на спектральную протяженность. Оно заключается в априорном знании наивысшей пространственной частоты, которая содержится в спектре объекта, т. е. в знании того, что спектр ограничен частотой

Использование ограничения (3.43) отсекает все лишние частоты в спектре изображения и сужает область допустимых решений. Заметим, что в пространственной области (3.43) может быть записано следующим образом:

Соответственно, (3.42) в спектральной области имеет вид

3. Априорно известные энергетические спектры изображения и шума. Речь идет практически о той ситуации, которая используется при оптимальной фильтрации сигнала. Пожалуй, наиболее доступной информацией здесь является оценка энергетического спектра изображения или хотя бы характера его поведения. Оценка энергетического спектра может быть проведена с использованием метода прототипов (см. § 2.6). Разбивая изображение на сегменты и усредняя их энергетические спектры или логарифмы спектров, получим оценку

по которой можно оценить функцию Аналогичная ситуация существует и в задаче наблюдения изображений через турбулентную среду (см. также гл. 6), где может быть эффективно оценен квадрат модуля спектра изображения Знание квадрата модуля в пространственной области эквивалентно знанию автокорреляции изображения

а это в некоторых случаях уже само по себе позволяет найти истинное изображение. Необходимо отметить, что знание функции является очень сильным ограничивающим условием, резко сужающим область допустимых решений. Отметим, что существует задача восстановления изображений, основанная только на знании автокорреляционной функции - так называемая «фазовая» проблема (см. гл. 5).

Априорное знание энергетического спектра шума

можно также получить на основе оценок по методу прототипа либо непосредственным измерением на однородных участках изображения.

В некоторых случаях нам известна не точно заданная функция а ее основные характеристики, например характерная скорость спадания энергетического спектра на высоких пространственных частотах. Это соответствует модели априорного знания сглаженной характеристики энергетического спектра, которую условно можно представить сверткой в спектральной области с некоторой сглаживающей функцией

Если можно оценить хотя бы характерный вид функции то такая информация также бывает весьма полезной. Действительно, предположим, что известна, тогда в пространственной области получим

где -функция автокорреляции сигнала, -обратное преобразование Фурье от Учет (3.48) позволяет скорректировать поведение спектра на высоких частотах при решении задачи расширения полосы пространственных частот.

4. Ограничения на энергию сигнала и шума. В некоторых случаях вместо полезной информации об энергетических

спектрах изображения и шума нам известны только такие интегральные характеристики, как суммарная, усредненная по полю интенсивность или яркость изображения и шума.

Требование того, чтобы априорная оценка суммарной яркости изображения совпадала с полученной, можно записать следующим образом:

Аналогично, для интенсивности изображения получим:

Выражение (3.50) с учетом равенства Парсеваля может быть переписано следующим образом:

Ограничение на энергию шума имеет вид

Знание суммарной яркости или интенсивности изображения, по существу, вынуждает решение приобретать такие значения, чтобы удовлетворить (3.49) или (3.50), тем самым усиливая слабые значения интенсивности изображения до более высокого уровня. Ограничения такого рода используются на практике, например в методе максимума энтропии. Выражения (3.49) — (3.50) можно использовать и как неравенства, когда оценки являются максимально допустимыми для заданного изображения.

5. Дополнительная априорная информация. Часто объект исследования обладает некоторыми специфическими свойствами, учет которых при восстановлении может быть чрезвычайно полезен. Типичным примером подобной ситуации может служить центральная симметрия изображения относительно начала отсчета, т. е.

В этом случае фаза изображения может принимать лишь значения и в некоторых случаях знание только модуля функции достаточно для быстрого и эффективного восстановления изображения (см. гл. 5). Такая ситуация вполне реальна в астрономии, когда изображение источника

представляет собой диск переменной яркости, имеющий симметричное распределение относительно центра диска. Другим примером может служить априорное знание того, что объект состоит из набора точечных импульсов на равномерном (нулевом) фоне. Это позволяет выработать специфические алгоритмы восстановления. Конкретные постановки задач восстановления вообще имеют широкий спектр возможностей по введению различных ограничивающих сведений в алгоритм решения задачи.

Если попытаться количественно оценить влияние различных ограничивающих факторов на сужение класса возможных решений, то оказывается, что нелинейный характер различных ограничений делает задачу оценки меры неопределенности допустимого решения чрезвычайно сложной. Такой мерой является размер характерного «пятна» неопределенности решения (рис. 3.5).

Возникающие математические трудности вынуждают часто отказаться от глобального решения проблемы и ограничиваться некоторыми простейшими случаями, для которых можно получать определенные результаты. Этот вопрос обсуждается в гл. 4 применительно к итерационным алгоритмам восстановления. Всегда важно помнить, что введение ограничений на процесс восстановления приводит к сужению области допустимых решений, а количественную оценку этого сужения можно получить на основе практических результатов.

Рассмотрим следующий вопрос: каким образом учитывать априорную информацию при построении алгоритма восстановления? Рассмотренный в § 3.3 метод построения алгоритмов восстановления на основе решения задачи минимизации функционалов приводит к выводу о необходимости построения некоторого функционала учитывающего наложенные на решение ограничения. Смысл введения заключается в сведении задачи минимизации с ограничениями к задаче без ограничений, но поставленной для функционала . Ранее мы уже сталкивались с возможным введением ограничений в задачу. Если заданы К ограничений вида равенств

то, используя метод множителей Лагранжа, минимизируемый функционал можно записать в следующем виде:

где h - множители Лагранжа. Очевидно, смысл выражения (3.53) сводится к тому, что если ограничения в виде

равенств выполнены, то вклад члена будет равен нулю, в противном случае получаем добавку к основному функционалу, стремящуюся увести решение в сторону. Таким образом, смысл ограничений в виде множителей Лагранжа заключается во введении некоторой штрафной функции Действительно, в нелинейном программировании известен целый ряд различных штрафных функций, аналогичных множителям Лагранжа.

Остановимся на одном интересном свойстве задачи оптимизации в постановке (3.53). Оказывается, что при минимизации функционала по функции необходимо максимизировать его по множителям Лагранжа, таким образом, задача оптимизации с ограничениями является двойственной:

а также

С помощью метода множителей Лагранжа можно учитывать также ограничения в виде неравенств. Пусть на решение наложены некоторые ограничения вида

Тогда введение так называемых ослабляющих переменных

позволяет свести ограничения в виде неравенств к ограничениям в виде равенств. Записывая общую задачу оптимизации с учетом К ограничений в виде равенств и ограничений в виде неравенств, получим [78]

где множители Лагранжа для ограничений в виде неравенств. Решение этой задачи (стационарная точка) определяется из следующей системы уравнений:

Отметим также одно важное свойство множителей Лагранжа: Если для ограничений вида равенств множители Лагранжа работают достаточно хорошо, то для учета ограничений в виде неравенств при решении задач нелинейного программирования часто приходится вводить полуэмпирические штрафные функции. Так, например, часто вводят следующие штрафные функции [66]:

где параметр, значения которого убывают с каждым шагом, а — положительные весовые коэффициенты. Смысл штрафной функции (3.58) заключается в том, что когда решение стремится к нулю, значения резко возрастают и тем самым увеличивают «штраф» на решение. Кроме функций (3.58) могут использоваться также следующие штрафные функции:

где весовые множители, -функция, равная единице, если условие не выполняется, и равная нулю в противном случае. Выбор той или иной штрафной функции будет обсуждаться в гл. 7.

В качестве практического примера использования ограничений рассмотрим метод, использующий (3.39) с функционалом-критерием вида максимума энтропии и различными ограничениями, накладываемыми на решение. Пусть исследуемая функция задана в дискретном виде

Тогда функционал-критерий выглядит следующим образом:

Приступим к формированию функционала ограничений

Учтем ограничения на уравнения формирования изображения:

Предположим, что полная яркость сигнала . Предположим также, что известна функция автокорреляции изображения

Для удовлетворения условию неотрицательности изображения сформируем штрафную функцию

Теперь для общего случая алгоритм восстановления может быть записан в виде

Предположим далее, что в общей схеме восстановления мы хотим учесть ограничения на пространственную протяженность. Тогда соответствующая добавка к функционалу ограничений равна:

где множители Лагранжа.

Аналогично, ограничения для записи информации о протяженности спектра будут:

Если учесть условие (3.41), то получим штрафную функцию следующего вида:

где верхняя и нижняя границы функции.

Наличие многих ограничений на решение поднимает важный вопрос о непротиворечивости ограничений. Действительно, если различные ограничения окажутся противоречивыми (например, окажется, что уравнения формирования и априорная информация о функции автокорреляции не согласуются между собой), то решение задачи будет приводить к абсурдному результату. Вопрос о непротиворечивости будет обсуждаться в дальнейшем.

Подводя итог содержанию этой главы, можно предложить следующую схему конструирования алгоритма восстановления на основе решения задачи нелинейного программирования.

1. Выбираем, исходя из априорных сведений, функционал-критерий задачи. Как уже отмечалось, в случае сильных искажений, предпочтителен нелинейный функционал, имеющий статистический смысл.

2. Выделяем ограничения в виде равенств. В их число обязательно включаем уравнения формирования изображения: могут присутствовать также ограничения на совпадение энергетических спектров или протяженность сигнала в пространственной или спектральной области.

3. Выделяем ограничения в виде неравенств. Наиболее распространенным видом таких ограничений является условие неотрицательности изображения. Формируем необходимые штрафные функции.

4. Выбираем способ регуляризации, в частности параметр и вид стабилизирующего функционала

5. Формируем общую схему задачи восстановления и составляем основной функционал, подлежащий оптимизации:

Здесь -критерий задачи; -ограничения в виде равенств с соответствующими множителями Лаграижа, ограничения в виде неравенств, где С—некоторые штрафные функции.

Теоретически реализация алгоритма на основе (3.63)

является универсальным средством решения обратной задачи. К сожалению, при практической реализации процессов оптимизации подобного класса возникают значительные сложности, связанные с обычными для нелинейного программирования аспектами — выбором алгоритма поиска, штрафных функций, обеспечением сходимости процесса и т. п. Эти вопросы будут рассматриваться в гл. 7.

Для демонстрации основных свойств нелинейных алгоритмов восстановления приведем численный пример. Для цифрового моделирования на ЭВМ нами использовался простой одномерный тест — объект, изображенный на рис. 3.6,а. Он состоит из трех импульсов (пиков) на однородном фоне, причем два первых импульса умышленно выбраны расположенными близко друг к другу. Объект искажен сверткой с гауссовской весовой функцией и добавлением аддитивного шума с нормальным распределенном. Результат искажения показан на рис. рис. показаны модуль спектра изображения и частотная характеристика системы формирования. На рис изображен результат инверсной фильтрации; как и следовало ожидать, восстановленный сигнал полностью подавлен шумом. Рис. 3.6,д иллюстрирует один из результатов линейного восстановления методом оптимальной фильтрации с управлением. Здесь наблюдается восстановление приближенной формы объекта, но решение оказалось слишком «сглаженным». Метод максимума информации чал более хороший результат (рис. 3.6,в). Хотя тонкяя импульсная структура не восстановилась, однако по сравнению с методами линейной фильтрации заметно и исчезновение осцилляции решения и возрастание амплитуд пиков, «обострение» решения. Та же задача решалась и методом максимума энтропии с использованием формулы (3.25). Результат решения показан на рис. 3.6,ж. Для того метода характерно отсутствие мелких оснилляиий решения, однако разрешение сигнала на рис. 3.6,ж оказывается примерно соответствующим разрешению на рис. 3.6,е. Полученные результаты подтверждают вывод о том, что метод максимума энтропии и максимума информации приблизительно эквивалентны между собой.

Моделировался также ваоиант метода максимума энтропии на основе формулы (3.39) с тихоновской регуляризацией.

Результат восстановления показан на рис. 3.6,з. Отметим некоторые характерные особенности полученного решения во-первых, исчезли положительные выбросы, характерные для обычных теоретико-информационных методов

(кликните для просмотра скана)

восстановления, во-вторых, амплитуда пиков выровнялась и приблизилась к истинной (на рис. решение обладает некоторой асимметрией). В то же время этот метод оказался не в состоянии полностью восстановить второй пик, близкий к первому.

Можно было ожидать, что, вводя дополнительные ограничения, получим более качественное восстановление. Поэтому в формуле (3.39) мы использовали ограничение на совпадение автокорреляций решение с априорно известной функцией автокорреляции изображения, что соответствует добавлению в основной функционал следующего члена:

Полученное решение приведено на рис. Легко видеть, что оно практически не отличается от истинного сигнала (рис. 3.6,а), как амплитуда, так и пространственное расположение пиков совпадает. Отметим, что введение ограничения на функцию автокорреляции увеличивало объем вычислений и на практике для обеспечения устойчивости алгоритма член с ограничением на автокорреляцию приходилось брать с некоторым весовым коэффициентом

Значения параметра у в серии проведенных экспериментов выбирались равными от 0,5 до 0,1.

Из приведенного примера видно, что введение дополнительных ограничений резко улучшает качество решения.

Методы конкретной реализации вычислительного алгоритма, использованные для получения экспериментальных результатов, приведенных на рис. 3.6,а-и, будут обсуждаться в гл. 7. Там же приведены результаты моделирования для двумерных объектов.