5.3. ВЛИЯНИЕ ОГРАНИЧЕНИЙ НА СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕ

Рассмотрим некоторые принципиальные вопросы, связанные с понятием сверхразрешения. Теоретические принципы, показывающие возможность экстраполяции спектра и единственности восстановления, не учитывают влияния дискретизации и шумов, поэтому требования к «идеальности» ситуации резко ограничивают действие таких методов, как, например, метод аналитического продолжения или алгоритм Гершберга — Папулиса. С другой стороны, нелинейные алгоритмы с регуляризацией обеспечивают устойчивую

экстраполяцию спектра, но при этом получаемое решение сглаживается. Таким образом, возникает вопрос: возможно ли восстановление исчезнувшей информации и если да, то при каких условиях?

Задачу сверхразрешения можно сформулировать как «добавление» части спектра отличной от нуля на частотах от до . В общем случае, структура достаточно произвольна, так что, выполняя обратное преобразование Фурье, получаем бесконечное множество решений которые отличаются высокочастотными частями.

Нам необходимо сузить класс возможных функций исходя из какой-то дополнительной априорной информации о решении. Первым подобным ограничением является неотрицательность решения Попытаемся выяснить, к каким особенностям спектра приводит это ограничение. Для этого воспользуемся следующим приемом: если то ее можно представить как квадрат некоторой другой функции Соответственно спектр может быть представлен как автокорреляция спектров где фурье-образ Оказывается, знание такого ограничения на спектр также позволяет провести экстраполяцию полосы пространственных частот. В работе [26] показано, что знание первых отсчетов спектра позволяет по рекуррентным формулам определить следующие отсчеты:

Здесь центр круга на комплексной плоскости, определяемый набором первых отсчетов спектра, — радиус круга, а — неизвестный параметр, модуль которого меньше или равен единице:

На основании (5.21) можно резюмировать следующее утверждение: знание низкочастотной части спектра изображения при условии положительности функции с некоторой точностью, определяемой величиной К, определяет высокочастотные компоненты спектра. Поэтому, используя рекуррентную последовательность для определения следующего отсчета по предыдущему, можно прийти к верному результату. Отметим, что неопределенность решения (5.21) ослабевает при уменьшении доли энергии частотных составляющих экстраполированных отсчетов, т. е. при быстром спадании энергетического спектра.

Если отвлечься от конкретного алгоритма экстраполяции, то любой нелинейный алгоритм с ограничением по

положительности должен приводить к решению, удовлег воряющему (5.21), так как мы в любом сдучае удовлетворяем условию и сохраняем известные нам значения отсчетов Таким образом, отсчеты, восстановленные при помощи нелинейного алгоритма и отсчеты, получаемые из условия неотрицательности, могут отличаться между собой только величиной

Это означает, что с точностью до X все алгоритмы с ограничением по положительности эквивалентны между собой. С другой стороны, где-то в классе всех возможных решений, характеризуемых X, лежит и истинное решение, которое, таким образом, не может определяться только неотрицательностью изображения.

Остановимся теперь на ограничении, которое уже было рассмотрено в связи с методом аналитического продолжения — априорном знании ограниченной пространственной протяженности. Известны строгие математические результаты, которые показывают, что знание низкочастотной части спектра, комбинированное с информацией об ограниченной пространственной протяженности, дает в отсутствие шума единственное решение задачи восстановления [147]. Однако если использовать метод регуляризованного аналитического продолжения, можно прийти к неоднозначному решению.

Поэтому к ограничению на пространственную протяженность следует относиться с известной осторожностью. Лишь в довольно редких случаях мы можем заранее выделить область пространства, в которой должно находиться решение. Так, в астрономии существуют методы определения угловых размеров наблюдаемого объекта, позволяющие использовать ограничение на пространственную протяженность, а при обработке аэрофотоснимка ограничение на пространственную протяженность можно применить лишь к тому выделенному объекту, размеры которого считаются известными. Наиболее часто априорно известны не точные границы интервала в пределах которого функция отлична от нуля, а некоторые приближение значения определяющие наибольшую протяженность объекта. В этом случае с теоретической точки зрения аналитическое продолжение работает так же хорошо, как и в случае точного значения интервала, на котором Однако влияние шумов на решение при этом усиливается, так как неточное знание интервала протяженности объекта предполагает меньшую эффективную

протяженность спектра, поэтому более высокие частоты восстанавливаются в ослабленном виде.

Возникает естественный вопрос: в какой степени совместное использование ограничений на положительность решения и ограниченную пространственную протяженность улучшает качество решения? Действительно, мы видели, что одной неотрицательности недостаточно для однозначной экстраполяции спектра — решение определяется с точностью до выбора величины К. Ограничение на пространственную протяженность, с другой стороны, в отсутствие шумов однозначно определяет высокочастотные составляющие спектра. Из этого можно сделать вывод, что в идеальном случае ограничение на неотрицательность решения является избыточным. Эта избыточность однако полезна в тех случаях, когда низкочастотная часть спектра зашумлена и интервал протяженности объекта известен неточно. Ограничение на неотрицательность не дает возникнуть осцилляциям в решении. Использование двух совместных ограничений — неотрицательности и ограниченной протяженности — сужает область допустимых решений и ослабляет требования к регуляризации задачи. Имеются также сведения об увеличении скорости сходимости итерационных алгоритмов, учитывающих оба ограничения [142, 145].

Для достижения более качественного решения, в алгоритм, учитывающий ограничения на неотрицательность и ограниченную протяженность, следует вводить другие ограничения — априорное значение энергии сигнала, энергетических спектров изображения и шума и т. д. Количественная оценка влияния различных ограничений на степень узости класса регуляризованных решений является непростой задачей, которая должна исследоваться численными методами.

В последнее время появились различные методы экстраполяции спектра за пределы полосы пропускания системы [74, 109, 123], которые в целом объединены идеологией использования максимально возможного числа априорных ограничений. Эти методы используются в различных схемах экстраполяции, основанных на теории комплексных функций, причем обычно или доказывается единственность решения (как, например, для задачи аналитического продолжения спектра) или появляются свободные параметры, варьирование которыми определяет целый класс решений задачи.

Наиболее удобен, на наш взгляд, подход, основанный на решении задачи восстановления сигналов с ограничениями

и регуляризацией, так как решения, получаемые на основе этого подхода, устойчивы к шумам, а класс сигналов, определяемых схемами экстраполяции и алгоритмами восстановления, одинаков. Речь идет о поиске одного и того же класса изображений, удовлетворяющих набору ограничивающих условий.

Можно рекомендовать две основные схемы для решения задачи свехразрешения.

1. Решение задачи минимизации функционала с ограничениями,

где функционал-критерий, -ограничения на процесс формирования и априорные свойства решения -стабилизирующий функционал.

2. Итерационный процесс обращения свертки с ограничениями:

где X — ускоряющий параметр, — оператор искажений оператор ограничений, учитывающий как пространственные, так и спектральные ограничения. Результаты численного моделирования, иллюстрирующие работу этих вычислительных схем, приведены в гл. 7.

В некоторых случаях нам априорно известен модуль спектра изображения. Ограничение на совпадение модуля спектра решения с априорно известным является довольно сильным в том смысле, что в некоторых случаях знания только одного модуля спектра оказывается достаточно для восстановления фазовой характеристики решения. Задача восстановления фазы спектра по известному модулю уже отмечалась ранее под названием «фазовая проблема». Рассмотрению ее посвящен следующий параграф.