6.3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФАЗОВОЙ ИНФОРМАЦИИ

Задача восстановления изображений, прошедших через турбулентную среду, должна решаться объединением традиционных методов восстановления изображений с

горитмами, позволяющими извлекать необходимую информацию из ансамбля искаженных изображений. Проанализируем основные результаты теории и практики наблюдения изображений через турбулентную среду и обсудим наилучшие методы восстановления изображений в спекл-интерферометрии.

1. Алгоритм наблюдения с усреднением. Этот метод широко применяется в оптической астрономии на протяжении многих лет. В результате наблюдения получаем среднее изображение источника, равное свертке истинного изображения со средней весовой функцией канала:

Метод усреднения позволяет наблюдать источники с малой энергией. Однако этот метод дает сильные искажения, связанные со структурой средней передаточной функции канала.

2. Восстановление усредненного изображения. Попытаемся восстановить «среднее» изображение методом инверсной фильтрации или фильтрации с регуляризацией:

Очевидно, что этим путем можно получить лишь незначительное улучшение. Степень улучшения здесь в значительной мере определяется соотношением размеров весовой функции системы и наблюдаемого объекта. Так, если размер объекта и ширина весовой функции имеют одинаковый порядок, то можно ожидать удовлетворительного восстановления. Однако в оптической астрономии при наблюдении удаленных объектов соотношение может быть равным 10 и более. Естественно, что в этом случае линейные методы восстановления дают плохие результаты. Поэтому используем нелинейные алгоритмы и наложим на изображение ограничения на положительность, протяженность и т. п. Попытаемся восстановить потерянные пространственные частоты. Оказывается, что такое восстановление возможно с удовлетворительным качеством при отношении , не превышающем 1,5-2. Таким образом, в случае сильных искажений задача восстановления усредненного изображения практически не решается.

3. Задача спекл-интерферометрии. Резюмируя изложенные ранее методы спекл-интерферометрии, можно прийти к следующему алгоритму.

а) Усредняем квадраты модулей спектров

б) Находим «сдвинутую» функцию автокорреляций спектров

в) Оцениваем из а) модуль спектра

а из б) находим фазовую характеристику

г) Объединяем найденную информацию о модуле и фазе и получаем оценку исходного изображения

Обсудим доверительность такой оценки. Из § 6.2 следует, что в общем случае модуль и фазу преобразования Фурье в (6.34) можно представить следующим образом:

где - погрешность в определении модуля спектра; - случайный шум фазовой характеристики. Подставив (6.35) в (6.34), получим:

С помощью обратного преобразования Фурье от (6.36) находим

и, следовательно,

Таким образом, в решении присутствует аддитивный шум зависящий от фазы сигнала; кроме того, вместо оценки истинного изображения мы получили свертку этого изображения со случайным членом, обусловленным ошибкой фазы. Можно ожидать, что этот член вызовет сильные осцилляции решения, которые возможно будут заходить в отрицательную область.

4. Алгоритмы, использующие априорную информацию о модуле и фазе преобразования Фурье. Эти алгоритмы позволяют добиться лучшего решения, чем (6.37). Задача получения устойчивых оценок модуля и фазы имеет два принципиально отличающихся способа решения: во-первых, можно задаться целью подавить шум в оценках модуля и фазы путем применения методов восстановления

на стадии выделения информации из набора искаженных изображений. Во-вторых, решением может служить некоторый алгоритм, использующий «зашумленное» приближение вида (6.37), но извлекающий из него решение, близкое к истинному.

Рассмотрим вначале возможность качественного оценивания модуля и фазы изображения. В пространственной области алгоритм усреднения квадрата модуля спектра записывается следующим образом:

Обозначим автокорреляцию изображения автокорреляцию весовой функции системы Теперь решение задачи (6.38) эквивалентно обычному решению уравнения свертки с учетом шума Важной особенностью (6.38), позволяющей сделать задачу более устойчивой, является неотрицательность Для устойчивого оценивания модуля спектра требуется решить уравнение

где

при условиях Последнее условие предполагает ограниченную протяженность функции автокорреляции.

Уравнение (6.39) должно давать хорошее решение по двум обстоятельствам: во-первых, уровень шума в (6.39) при усреднении не очень высок; во-вторых, здесь не требуется экстраполяции пространственных частот, так как передаточная функция не равна нулю в полосе частот решения. Ограничение на положительность удерживает решение в рамках ограничений и тем самым не допускает усиления флуктуаций.

Таким образом, устойчивая задача восстановления информаций о модуле спектра может быть решена одной из нелинейных схем восстановления, ипользующей ограничения. Для решения (6.39) можно использовать, например, схему оптимизации нелинейного функционала с ограничениями или подходящий итерационный алгоритм. В дальнейшем будем считать, что в нашем распоряжении имеется устойчивая и качественная оценка , а следовательно, и .

Если обратиться к оценке фазовой характеристики то можно видеть, что решения задачи, определяющей фазовую характеристику фактически не существует. Действительно, если пытаться убрать шумы» в (6.35), то для этого придется работать с каждым изображением из ансамбля в отдельности, что практически невозможно из-за неизвестной структуры и низкой яркости мгновенных изображений.

Таким образом, использование получаемой информации сводится лишь к уточнению поведения функции . Если предположить, что член в (6.36) равен то приходим к решению, аналогичному (6.37), но без дополнительного шумового члена:

Дальнейшее усовершенствование вычислительной схемы можно получить, учитывая дополнительные априорные ограничения, накладываемые на решение. Отметим, что ситуация, приводящая к (6.40), выражается в том, что известен модуль изображения и известна некоторая оценка фазы, предположительно не слишком далекая от истинной. Требуется найти скорректированную фазовую характеристику как следствие, получить истинное близкое к истинному решение. Задача опять-таки сводится к «фазовой» проблеме, обсуждающейся в § 5.3. Отличием возникшей ситуации от классической постановки фазовой проблемы является априорное знание оценки и речь идет не о нахождении решения, а о его корректировке при условии, что изображение неотрицательна и имеет ограниченную пространственную протяженность.

В таком случае хорошие результаты дают итерационные алгоритмы Если мы уверены, что имеющиеся у нас априорные данные не слишком далеки от истинных, то имеет смысл применить следующий итерационный корректирующий алгоритм (см. § 4.5)

где в качестве начального приближения берется оценка вида (6.40). При этом последовательность сходится к одному из возможных решений таких, что Если то (6.41) сходится к истинному решению

Подводя итоги, приходим к следующим этапам в поиске решения:

а) найти оценки ;

б) решить задачу устойчивого определения модуля при ограничениях, наложенных на изображение: .

в) найти первое приближение к решению, комбинируя полученную информацию о модуле и фазе;

г) подставить полученное решение в итерационный алгоритм вида (6.41) с ограничениями на неотрицательность и знание модуля спектра решения. Выходом алгоритма является искомое решение.

Изложенный вариант восстановления имеет свои недостатки. Во всяком случае, если результат восстановления модуля спектра оказывается неточным, то применение (6.41) может не дать истинного решения.

Предположим теперь, что информация о фазовой характеристике по каким-то причинам считается неудовлетворительной и в рассмотренном алгоритме не учитывается Можем ли мы в этом случае произвести восстановление? Ответ на этот вопрос положительный, если в структуре алгоритма учесть информацию о низкочастотной составляющей спектра, т. е. информацию об усредненном изображении. Такая ситуация, по существу, означает, что нам известна некоторая часть (сегмент) фазовой функции , где . Эта информация может использоваться двояким образом. Один из путей заключается в коррекции значений фазы, восстанавливаемых методом Нокса-Томсона; другой — в последовательном учете ограничений на низкочастотную часть спектра в структуре восстанавливающего алгоритма. Уравнение формирования для усредненного изображения будет

а ограничения имеют вид

Из набора мгновенных изображений путем решения (6.39) или просто инверсной фильтрацией получаем оценку модуля спектра решения

Сформируем задачу минимизации некоторого функционала с ограничениями (см. гл. 3):

где - стабилизирующий функционал, множители Лагранжа. Решение (6.42) должно удовлетворять наложенным ограничениям и расширять полосу пространственных частот. Информация о фазовом сегменте и модуле спектра вместе с требованиями неотрицательности изображения и ограниченной протяженности дает хорошую

оценку так как экстраполяция спектра в (6.42) является наилучшей среди других постановок задачи экстраполяции спектра и сверхразрешения. Альтернативной формой записи (6.42) может служить итерационный алгоритм, аналогичный (4.79):

где оператор пространственных ограничений, — псевдодифференциальный оператор спектральных ограничений; X — ускоряющий параметр; — стабилизирующий оператор.

Таким образом, одним из методов решения задачи восстановления с расширением полосы частот может служить следующий алгоритм:

получить оценки решением уравнения (6.39) найти устойчивую оценку

определить низкочастотную составляющую спектра из анализа усредненного изображения;

сформировать нелинейный алгоритм на основе (6.42) или (6.43), учитывающий ограничения на усредненное изображение, неотрицательность решения и оценку модуля спектра решения. На выходе алгоритма получим искомое решение.

Описанный алгоритм более трудоемок, чем алгоритм итерационной коррекции, однако у него имеются и достоинства — решая уравнение (6.42), можем получить устойчивое решение с достаточно широкой полосой частот; то же относится и к алгоритму на основе (6.43), если обеспечена сходимость приближений. Решение уравнения (6.42) в целом более устойчиво к возмущениям в задании ограничений на модуль спектра -гибкость метода штрафных функций позволяет по мере решения усиливать или ослаблять ограничения.

Другой алгоритм восстановления, который можно предложить для спекл-интерферометрии, по существу, является расширением только что изложенного и заключается в дополнительном введении ограничений на рассогласование фазовых характеристик оценки и искомого решения, т. е. введении в алгоритм априорной информации о мере отличия истинного решения от его оценки (6.40). Подобное ограничение может быть введено, например, в форме

где у — некоторая априорно задаваемая норма уклонения.

Рис. 6.6. Блочная структура алгоритма восстановления изображений в спекл-интерферометрии

Уравнение (6.44) должно привести к более стабильному решению, а класс допустимых решений должен существенно сузиться.

Можно предложить еще целый ряд различных алгоритмов восстановления. Их будет объединять одно обстоятельство: результирующий алгоритм всегда приобретает блочную структуру (рис. 6.6). Задачей первого блока является получение априорной информации из ансамбля случайно искаженных изображений и, возможно, корректировка этой информации на основе решения локальной задачи восстановления. Полученная в первом блоке информация для любого из алгоритмов является входной для следующего блока, осуществляющего нелинейную обработку сигнала с учетом как априорной информации, полученной на первом этапе, так и других априорно известных свойств решения. При этом возникает вопрос о выборе наилучшего нелинейного алгоритма, дающего оценку исходного изображения. Выбор действительно оптимального алгоритма — комплексная задача, требующая многих усилий. В то же время общая идеология последовательной обработки сохранится в любой из таких схем.