ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПЕКТРА И СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕ

5.1. МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ СПЕКТРА

В предыдущих главах уже возникала проблема повышения разрешающей способности системы формирования изображений. Ограничение спектра сигнала в системе формирования приводит к исчезновению высокочастотных составляющих, которые никак не проявляются в наблюдае изображении Будем считать, что любая система, полоса пропускания которой ограничена некоторым интервалом имеет разрешающую способность, пропорциональную Два импульсных объекта в изображении

Рис. 5.1. Схема действия ограничения полосы частот на объект

можно различить только тогда, когда они разнесены на расстояние, большее, чем , где . В противном случае два импульса на выходе системы формирования сливаются в один (рис. 5.1).

Проблема повышения разрешающей способности (в том числе проблема превышения дифракционного предела) при восстановлении изображений имеет первостепенное значение. В этой главе мы рассмотрим теоретические возможности и практические алгоритмы, позволяющие экстраполировать полосу частот за пределы частоты обсудим понятие «сверхразрешение» и его практические возможности.

Если говорить о задаче экстраполяции спектра за пределы частоты то необходимо учитывать «двойную» некорректность этой задачи. Во-первых, дифракционное ограничение полосы пространственных частот порождает неединственность решения — особенность, присущую некорректным задачам. Во-вторых, реальные данные всегда с той или иной степенью зашумлены и искажены, так что кроме собственно ограничения полосы частот мы еще сталкиваемся с неустойчивостью решения на частотах, меньших чем Если предположить, что нам приходится бороться только с дифракционным ограничением, то по аналогии с приведенными ранее общими соображениями о решении некорректных задач, можно предположить, что единственное или близкое к нему решение можно отобрать из всех возможных решений, используя дополнительную априорную информацию о сигнале.

Классические результаты теории финитных функций показывают, что в качестве такой информации могут служить данные о конечной протяженности изображения, т. е. информация о том, что определена на конечном интервале а вне его тождественно равна нулю. Это условие как раз соответствует принадлежности классу финитных функций на интервале

Пусть функция финитна в интервале Если она кусочно-непрерывна и интегрируема в промежутке

то ее спектр является аналитической функцией. Это видно из теоремы Винера — Пэли, согласно которой фурье-образ финитной функции может быть продолжен на всю комплексную плоскость как целая функция конечной степени. Напомним, что целой функцией называется аналитическая функция комплексного переменного, представимая сходящимся всюду степенным рядом (в данном случае — конечной степени) и, следовательно, не имеющая особенностей ни в какой ограниченной области комплексной плоскости.

Таким образом, фурье-образ финитной функции, известный в некоторой области, может быть экстраполирован на всю комплексную область. Отсюда следует, что знание спектра сигнала внутри некоторого интервала частот можно использовать для нахождения спектра вне полосы пропускания. Единственность аналитического продолжения и, как следствие, возможность получения единственного решения основного интегрального уравнения вытекает из того, что две любые функции комплексной переменной, значения которых совпадают в произвольно малой области аналитичности, должны быть идентичны.

Все это говорит о том, если некоторый кусочно-непрерывный сигнал финитен, то его спектр «гладкий» и потому при абсолютно точных измерениях может быть единственным образом экстраполирован как угодно далеко за пределы полосы пропускания системы формирования. В результате появляется возможность (по крайней мере, теоретически) достижения сколь угодно большой разрешающей способности [12, 93].

Теорема Винера — Пэли, по существу, показывает природу производных от фурье-образа финитной функции: как целая функция должна иметь конечные значения производных в любой точке, например в точке Это подсказывает простейший путь выполнения аналитического продолжения спектра — разложение в ряд Маклорена:

которое в данном случае существует для всех значений , в том числе и для лежащих вне полосы пропускания системы.

Торетически мы можем легко вычислить значения в разложении (5.1), используя формулу позволяющую найти решение уравнения типа свертки (если решение существует), затем подставить полученные значения в (5.1) и,

выполнив обратное преобразование Фурье от (5.1), найти идеальное восстановленное изображение. Однако понятно, что ошибки измерения на практике будут приводить к потере точности вычисления производной с ростом .

Вследствие некорректности задачи такое разложение будет неустойчивым, если не принимать специальных мер, таких, как ограничение числа членов в (5.1), введения в это разложение весовых коэффициентов и т. п. Возникающая при этом ситуация практически не отличается от ситуации, рассмотренной нами в § 1.5 при обсуждении общих методов борьбы с помехами.

Известные методы аналитического продолжения спектра основаны на разложении анализируемых функций в различные функциональные ряды. Так, спектр финитной функции может быть представлен в виде ряда Котельникова [16, 38] и существует возможность найти коэффициенты разложения ряда для частот, лежащих вне полосы пропускания. Наиболее удобным оказывается разложение по системе сфероидальных волновых функций Замечательным свойством СВФ является двойная ортогональность: они образуют ортогональную систему, полную в подпространстве функций с финитным спектром из и одновременно — ортогональную систему, полную в . Это свойство позволяет существенно упростить процесс аналитического продолжения.

Рассмотрим процедуру применения СВФ для восстановления с аналитическим продолжением спектра при решении уравнений типа свертки. Пусть нам задано уравнение при условии, что изображение при а фурье-образ весовой функции при Так как сигнал финитен, его спектр является функцией, которая может быть разложена по системе СВФ [93]:

где , а - СВФ, являющиеся решениями уравнения:

В силу двойной ортогональности СВФ, это разложение существует для всех значений от до хотя коэффициенты вычисляются по значениям на конечном интервале а вследствие полноты системы СВФ в множестве функций с финитным спектром, ряд сходится к Таким образом, формула (5.2) представляет аналитически продолженный спектр изображения.

Восстановленный сигнал вычислим как результат преобразования Фурье от Получим

где

Для нахождения используем свойство инвариантности СВФ к преобразованию Фурье на конечном интервале:

Подставляя выражение для из (5.5) в (5.4), находим

Используя «фильтрующее» свойство -функции, из последнего выражения получим:

Восстановленное изображение находим, подставляя (5.6) в (5.3):

При точных измерениях и бесконечном числе членов формула (5.7) определяет восстановленное изображение с бесконечной разрешающей способностью. Однако, если учесть, что энергия шумов влияет на качество восстановления обратно пропорионально величине а для СВФ собственные значения резко стремятся к нулю, начиная с некоторого критического значения поэтому понятно, что существует вполне определенный предел разрешающей способности.

Предел разрешающей способности можно ориентировочно получить из следующих соображений: ограничим разложение (5.7) N членами, где Учитывая, что получим

Из общих свойств СВФ следует, что любая координатная функция ряда в (5.7) точно раз обращается в нуль на интервале Это позволяет принять за численную меру разрешения, достигаемого при сохранении членов разложения, среднее расстояние между нулевыми значениями последней координатной функции усеченного ряда на рассматриваемом интервале:

Подставляя (5.8) в (5.9) и учитывая, что получаем величину разрешения порядка совпадающую с обычной оценкой разрешающей способности реального прибора, имеющего полосу пропускания

Тем не менее, принципиальная возможность увеличения разрешающей способности за счет аналитического продолжения сохраняется. Приведенная оценка является, по существу, оценкой снизу. Действительно, если мы будем при вычислении коэффициентов ряда использовать информацию об отношении сигнал-помеха в направлении каждой координатной функции число членов разложения может быть увеличено и соответствующий предел разрешения повышен.

Аналитическое продолжение в его чистом виде чрезвычайно чувствительно к шумам и задача заключается в нахождении способов устойчивой экстраполяции спектра.

Интересно, что альтернативой изложенного здесь метода аналитического продолжения спектра на основе СВФ является итерационный алгоритм Гершберга — Папулиса [102, 136], основанный на теореме (см. § 4.3). Действительно, в этом алгоритме используется та же априорная

информация — принадлежность классу финитных функций

и знание низкочастотной составляющей спектра

Итерационный алгоритм записывается следующим образом:

Он приводит к однозначному решению в случае отсутствия шумов [148]. Напомним, что геометрической интерпретацией ограничений являются выпуклые множества, которые пересекаются в одной точке, дающей единственное решение задачи.

С другой стороны, дискретизация изображения и шум в низкочастотной области спектра приводит к некорректности задачи. Способы регуляризации итерационных алгоритмов приведены в гл. 4. Учитывая, что изображения неотрицательны, т. е. и то, что оператор является сверткой, регуляризованная задача аналитического продолжения запишется следующим образом:

где обратное преобразование Фурье от стабилизирующего множителя. Отметим, что регуляризация ограничивает возможности экстраполяции спектра — здесь необходимо искать компромисс между сглаживанием высоких частот множителем и продолжением спектра, т. е. той максимальной частотой, на которой при заданном уровне шума решение еще устойчиво. На геометрическом языке это означает разумный выбор области «расплывания» точки пересечения множеств. Более детальное обсуждение этого вопроса проводится в § 5.3.