8.4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

С помощью оптических систем рассмотренного выше типа легко реализуются только те методы восстановления, которые основаны на фильтрации наблюдаемого сигнала при его прохождении через разомкнутый восстанавливающий фильтр с заданной передаточной функцией. Хотя класс таких методов достаточно широк (инверсная фильтрация, оптимальная винеровская фильтрация, фильтрация с регуляризацией решения), однако он не включает в себя многие полезные методы, предусматривающие введение обратной связи, к которым относятся, например, методы итерационного типа (см. гл. 4) или метод МАВ-оценки решения нелинейного уравнения (см. § 2.5).

Обратная связь в оптических системах обработки информации позволяет не только расширить класс реализуемых методов восстановления изображений, но и упростить синтез восстанавливающих фильтров за счет включения

модели искажающего звена в цепь обратной связи системы восстановления [8, 111].

Существуют два типа оптических систем с обратной связью: пассивные и активные. Примером пассивной системы в оптике может служить, например, интерферометр Фабри — Перо, активной — лазерный генератор. Обработку информации можно также производить оптическими системами этих двух типов. Для описания процессов функционирования оптических систем обработки информации с обратной связью независимо от типа системы используется обычный для систем с обратной связью метод, который состоит в следующем.

Если на вход некоторой произвольной системы, характеризующейся оператором подан сигнал то выход ной сигнал равен Если же часть энергии выхода поступает в цепь обратной связи, характеризующуюся оператором и затем складывается с входным сигналом, то на входе первой системы образуется сигнал где параметр (в общем случае комплексный), показывающий, какая часть выходного сигнала поступает в цепь обратной связи. Тогда соотношение между входным и выходным сигналами определяется формулой

В случае линейных систем можно, пользуясь принципом суперпозиции, представить (8.50), как

а из (8.51) получить связь между входным и выходным сигналами в явном виде:

где единичный оператор. Оператор

называют оператором замкнутой системы, а оператор — разомкнутой системы (прямой связи).

В случае однородных линейных систем, основной закон функционирования которых описывается уравнением типа свертки, передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем связаны соотношением, аналогичным (8.53):

Для действительных коэффициентов обратной связи при получим положительную обратную связь, при

Рис. 8.7. Схемы пассивных оптических систем обработки изображений с обратной связью: а-с суммированием комплексных амплитуд; б-с суммированием интенсивности

отрицательную. Если модули всюду меньше или равны единице, то система считается пассивной; в противном случае — активной.

Современные пассивные оптические системы с обратной связью для обработки изображений строятся на базе интерферометров типа Фабри — Перо. Принципы действия таких систем рассмотрим на примере простой схемы, приведенной «а рис. 8.7,а. В этой однокаскадной системе имеется два полупрозрачных зеркала и , создающих оптическую обратную связь. Зеркало находится в передней фокальной плоскости линзы зеркало задней фокальной плоскости линзы Линзы расположены на расстоянии друг от друга и оптическая система в целом при когерентном освещении работает как дифракционный коррелятор. Изображение вводится в плоскость Линза формирует в частотной плоскости коррелятора дифракционную картину входного сигнала, т. е. его фурье-спектр . В плоскости осуществляется

умножение спектра входного сигнала на Передаточную функцию разомкнутой системы с помощью пространственно-частотного фильтра установленного на оптической оси системы в плоскости

В плоскости линзой образуется повторное преобразование Фурье фильтруемого изображения. Часть энергии изображения через полупрозрачное зеркало поступает на выход, а оставшаяся часть, отразившись от поверхности зеркала проходит через линзу в обратном направлении и снова подвергается фурье-преобразованию. Так как зеркало наклонено на некоторый малый угол к плоскости линзы, дифракционная картина входного изображения при обратном проходе будет смещена относительно оптической оси в плоскости Соответствующим выбором параметров системы и 0 можно добиться, чтобы дифракционные картины изображения на прямом и обратном проходах в плоскости не перекрывались. Поэтому дифракционную картину на обратном проходе можно фильтровать с помощью некоторого фильтра пространственно отделенного от фильтра Распределение комплексных амплитуд света, пропорциональное на обратном проходе подвергается фурье-преобразованию с помощью линзы и направляется зеркалом наклоненным на угол к плоскости линзы, вдоль оптической оси системы. Таким образом, на каждом прямом проходе выходное изображение обрабатывается фильтром а на обратном — фильтром

Предположим, что длина когерентности света много больше удвоенного расстояния между зеркалами и световые волны в системе сохраняют способность интерферировать даже после очень большого числа проходов. Предположим также, что мы можем контролировать оптическую длину пути в системе, изменяя расстояние между зеркалами с точностью много больше, чем длина волны света. Это означает, что, изменяя расстояние между зеркалами, мы можем управлять разностью фаз волны на прямом проходе и волны, задержанной в цени обратной связи. При этих условиях передаточная функция замкнутой оптической системы равна

где амплитудные коэффициенты отражения зеркал соответственно; коэффициенты их пропускания; суммарный коэффициент пропускания оптических элементов, расположенных между зеркалами.

Сравнение формул (8.54) и (8.55) показывает, что они совпадают с точностью до постоянного множителя причем Ясно, что если менять расстояние между зеркалами так, чтобы то получим положительную обратную связь . При получим отрицательную обратную связь . Так как у обычных оптических пространственно-частотных фильтров то система рис. 8.7,а является пассивной. Кроме того, поскольку произведение также меньше единицы, знаменатель дроби в (8.55) ни при каких условиях не равен нулю и с точки зрения теории автоматического регулирования система всегда устойчива.

Покажем, как систему рис. 8.7,а можно использовать для восстановления изображений. Для этого настроим расстояние между зеркалами на величину (положительная обратная связь), а в цепь обратной связи установим фильтр где передаточная функция системы получения изображения, вызвавшей его искажение. Положим далее т. е. в незамкнутую часть оптической системы вводить пространственно-частотный фильтр не будем. Тогда из (8.55) находим

Если потери в оптических элементах системы малы, а зеркала имеют высокий коэффициент отражения, то величина близка к единице. Тогда из (8.56) получим

откуда видно, что передаточная функция оптической системы с обратной связью пропорциональна передаточной функции инверсного восстанавливающего фильтра. Заметим, что специально создавать пространственно-частотный инверсный фильтр вида как это делается в разомкнутых оптических системах, здесь не требуется. Процесс инверсной фильтрации достигается с помощью более простого фильтра за счет обратной связи.

С помощью обратной связи легко реализуются и более сложные, чем инверсная фильтрация, методы восстановления изображений. Покажем, например, как в системе с обратной связью можно реализовать метод оптимальной фильтрации Винера и метод регуляризации Тихонова. Для этого представим формулу (8.54) при (отрицательная обратная связь) в виде

Полагая

из (8.58) находим

Нетрудно видеть, что передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью (8.60) и передаточная функция оптимального восстанавливающего фильтра полностью совпадают. Если положить

из (8.58) получим формулу

полностью совпадающую с передаточной функцией восстанавливающего тихоновского фильтра. Таким образом, чтобы реализовать процесс восстановления изображения методом оптимальной фильтрации или методом регуляризации в системе с отрицательной обратной связью, достаточно включить в цепь обратной связи модель передаточной функции искажающей системы а в цепь прямой связи системы ввести фильтр или .

В оптической схеме рис. 8.7,а при отрицательной обратной связи передаточная функция замкнутой системы равна

Если то при соблюдении условий (8.59) получим из (8.63) передаточную функцию оптимального восстанавливающего фильтра

а при (8.61) — передаточную функцию восстанавливающего тихоновского фильтра

Практическая реализация восстанавливающих фильтров с передаточными функциями вида (8.57), (8.63) и (8.65) в оптической системе рис. 8.7,а связана с рядом трудностей. Прежде всего, поглощение света в оптических элементах схемы должно быть сведено к минимуму, а коэффициенты отражения зеркал должны быть максимальными, чтобы произведение было как можно ближе к единице. Но чем больше отражение зеркал, тем меньше световой поток на выходе системы. Кроме того, чтобы минимизировать потери света в системе требуются пространственно-частотные фильтры с максимальной световой эффективностью. По этой причине использование голографичёских фильтров затруднительно и наиболее целесообразно применять чисто фазовые пространственно-частотные фильтры, обладающие высокой световой эффективностью.

Расстояние между зеркалами также должно выдерживаться с очень высокой точностью, чтобы обеспечить требуемую разность фаз Для этого приходится одно из зеркал укреплять на пьезокристаллическом датчике, входящем в состав сложной системы автоматического регулирования. Наконец, в-третьих, требуется такой источник светового излучения, длина когерентности которого во много раз больше величины удвоенного расстояния между зеркалами.

Однако высокая точность расстояния между зеркалами и большая длина когерентности излучения не требуются в такой пассивной оптической системе, где сложение световых волн, циркулирующих в цепи обратной связи, осуществляется не по комплексной амплитуде, а по интенсивности света. Схема такой системы приведена на рис. . В этой системе плоскости являются предметными, плоскости частотными. Цепь обратной связи образована полупрозрачными зеркалами и и зеркалами

Рассмотрим работу этой системы. Предположим сначала, что плоскость свободна, в плоскости установлен транспарант обрабатываемого изображения, имеющий пропускание по интенсивности в плоскости помещен фазовый клин (призма), амплитудное пропускание которого пропорционально функции , а в плоскости введен набор постоянных фильтров с пропусканием по интенсивности расположенных в ряд на расстоянии друг от друга фокусное расстояние линзы

При единичной амплитуде освещающего пучка распределение комплексных амплитуд поля на выходе из транспаранта будет равно Часть светового потока после фурье-преобразования на линзе пройдет через полупрозрачное

зеркало попадет на первый фильтр расположенный на оптической оси системы в плоскости и после повторного преобразования Фурье на линзе сфокусируется в плоскости Другую часть потока полупрозрачное зеркало направит в цепь обратной связи. В плоскости она получит фазовый набег и снова умножится на амплитудное пропускание транспаранта, так что комплексная амплитуда волны после транспаранта будет равна Из-за фазового набега эта часть потока попадает уже на второй фильтр смещенный от оси на величину и также сфокусируется в плоскости Далее получим волну которая через фильтр пройдет на выход. На следующем проходе будет задействован фильтр а затем

Длина когерентности светового излучения в рассматриваемой схеме предполагается меньше длины оптической линии задержки. Поэтому все потоки в плоскости суммируются по интенсивности. Если для простоты выкладок не учитывать ослабление света в замкнутой системе, то для результирующего светового распределения можно записать

Следовательно, на выходе системы можно получить разложение в ряд входной функции. Изменяя величины можно менять вид функциональной зависимости входа и выхода. Ограничением здесь является только положительная определенность коэффициентов Однако это ограничение удается преодолеть, записывая входное изображение на «подставке». Известно, что нелинейное преобразование функции (где А — положительная постоянная или «подставка») оператором, содержащим только положительные коэффициенты, эквивалентно преобразованию функции нелинейным оператором, имеющим знакопеременные коэффициенты [33].

Пусть транспарант с записью входного изображения помещен в плоскость в замкнутом цикле действует некоторый оператор а плоскость свободна. Тогда при первом проходе в выходную плоскость спроектируется само изображение, при втором проходе — изображение, преобразованное оператором , при третьем — изображение, преобразованное оператором и т. д. Если, например, в замкнутом цикле действует оператор изменения масштаба, то в выходной плоскости получим множество разномасштабных изображений, а если действует оператор

изменения ориентации — множество различно ориентированных изображений. При освещении непрерывным излучением все преобразованные изображения будут присутствовать в выходной плоскости одновременно. Различные операторы можно получить введением тех или иных оптических элементов (объективов, решеток, оборачивающих призм и т.п.) в цепь обратной связи системы. Введением пространственно-частотных фильтров в плоскость можно заранее осуществить фильтрацию входного изображения. Из изложенного ранее ясно, что система обеспечивает либо последовательное умножение изображения самого на себя, когда входной транспарант находится в замкнутой части схемы, либо повторное применение к изображению оператора, действующего в цепи обратной связи, когда входной транспарант вводится в цепь прямой связи схемы. В первом случае световые пучки, соответствующие различным степеням функции изображения, взвешиваются с коэффициентами и суммируются по интенсивности на выходе системы, во втором случае — суммируются на выходе с одинаковым весом. Для пространственного разделения этих пучков и независимого взвешивания используется свойство когерентного света: иметь одно и то же распределение интенсивности при различных фазовых фронтах.

Для того чтобы показать, каким образом эту систему можно использовать для реализации методов восстановления изображений, установим транспарант с записью искаженного изображения в плоскость а в плоскость введем набор постоянных фильтров причем будем считать, что фильтр, размещенный на оптической оси, имеет пропускание Настроим цепь обратной связи так, чтобы в замкнутом цикле действовал оператор сдвига изображения. Для этого достаточно, например, поместить в одну из частотных плоскостей цепи обратной связи или фазовый клин, осуществляющий умножение спектра сигнала, циркулирующего в цепи обратной связи, на функцию Тогда после первого прохода изображения в цепи обратной связи спектр умножится на после второго — на после на Если в плоскости также стоит фазовый клин, то световой пучок после прохода попадает на соответствующий фильтр в плоскости Комплексная амплитуда суммарного поля за плоскостью будет пропорциональна функции

Так как согласно теореме о сдвиге

преобразование Фурье функции (8.67) с помощью линзы приведет к формированию в плоскости выходного распределения комплексных амплитуд в виде

Из (8.68) видим, что световое распределение на выходе системы соответствует восстановленному изображению если коэффициенты равны коэффициентам разложения функции в тригонометрический ряд:

Таким образом, в оптической системе рис. 8.7,б нам удалось реализовать один из методов восстановления изображений, основанных на добавлении поправок к наблюдаемой функции, без применения обратных пространственно-частотных фильтров и даже без включения передаточной функции искажающего звена в цепь обратной связи. Физика этого процесса восстановления близка к физике фотографического метода «нерезкой маски», в котором добиваются улучшения качества фотоизображения контактной перепечаткой фотоснимка, сложенного с его нерезкой копией. Последняя играет роль суммы сдвинутых изображений Однако в методе «нерезкой маски» характеристики искажающей системы никак не учитываются: сдвинутые изображения суммируются с неизменными весами, обусловленными дефокусировкой изображения при изготовлении его нерезкой копии. В предлагаемом же методе осуществляется не просто улучшение, а восстановление изображения: мы можем управлять весовыми коэффициентами суммирования, изменяя пропускание постоянных фильтров в соответствии с коэффициентами разложения обратного оператора задачи в ряд (8.69).

Для того чтобы с помощью оптической схемы рис. 8.7,б реализовать и другие методы восстановления изображений, предусматривающие добавление поправок к наблюдаемой функции (см. § 4.1), требуется применение в замкнутом

цикле оператора, отвечающего разложению в соответствующий функциональный ряд. Конструктивные решения оптических систем, реализующих такие методы, могут быть различными, но во всех случаях потребуется введение заранее изготовленных пространственно-частотных фильтров в цепь оптической обратной связи.

В рассмотренной схеме, как и в других пассивных оптических системах с обратной связью, наблюдается сильное ослабление светового потока после каждого цикла прохождения сигнала в цепи обратной связи. По этой причине на практике удается сложить лишь несколько единиц (иногда десятков) световых пучков, отвечающих различным членам разложения в ряд обратного оператора задачи. Хотя вследствие некорректности задачи восстановления большое число членов ряда принципиально учитывать нельзя (см. § 4.1), однако затухание световых пучков накладывает определенные ограничения на возможность реализации различных методов восстановления. Другой недостаток связан со сложением пучков по интенсивности; в результате возникают трудности обеспечения отрицательных и комплексных значений весовых коэффициентов

Активные оптические системы с обратной связью свободны от указанных недостатков. Активными элементами таких систем могут служить, например, лазерные усилители. Одна из возможных схем оптической системы с лазерным усилителем в качестве активного элемента показана на рис. 8.8.

В этой системе предусмотрена одна частотная плоскость находящаяся в цепи обратной связи, образованной с

Рис. 8.8. Схема активной оптической системы с обратной связью, использующей лазерный усилитель света

помощью полупрозрачных зеркал и и зеркал За и (направление распространения световых волн показано на рисунке стрелками). Фурье-спектр циркулирующего в цепи обратной связи изображения создается при помощи линзы а линзы служат для отображения изображения в предметные плоскости системы на входе и выходе лазерного усилителя.

Передаточная функция замкнутой системы определяется формулой (8.55), где в качестве выступает передаточная функция лазерного усилителя, в качестве передаточная функция пространственно-частотного фильтра, установленного в плоскости Как и в случае пассивной системы рис. значение коэффициента обратной связи зависит от разности фаз волны на прямом проходе и волны, задержанной в цепи обратной связи. Требуемая настройка величины также осуществляется изменением оптической длины пути в системе. Однако в отличие от пассивной схемы из соображений устойчивости системы следует ввести только отрицательную обратную связь.

Если в плоскости установлен фильтр с передаточной функцией и лазерный усилитель света имеет достаточно большой коэффициент усиления, такой, что то согласно (8.55) передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью будет пропорциональна функции . В данном случае система рис. 8.8 работает как инверсный фильтр.

В этой системе можно реализовать восстанавливающие фильтры и других типов. Активный характер функционирования системы позволяет использовать пространственно-частотные фильтры с низкой световой эффективностью, а также снизить требования к допустимому поглощению света оптическими элементами схемы. Однако создание лазерных усилителей с большой апертурой, позволяющей вводить в системы высокоинформативное изображение, является довольно сложной проблемой. Кроме того, трудности поддержания заданной разности фаз и обеспечения большой длины когерентности излучения в рассмотренной схеме оказываются того же порядка, что и в пассивной оптической системе рис. 8.7,б. Это пока ограничивает практические возможности ее применения.