4.6. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЭМПИРИЧЕСКИМ ИТЕРАЦИОННЫМ АЛГОРИТМАМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Кроме итерационных алгоритмов, для которых имеется строгое математическое обоснование и доказана возможность регуляризации, существуют различные эмпирические алгоритмы, которые часто используются в практической работе. В этом параграфе приведем краткий обзор итерационных алгоритмов этого класса.

Начнем с алгоритма, непосредственно связанного с итерационной схемой Ван Циттерта — Цернике (см. § 4.1) и известного как алгоритм Джансона - Ван Циттерта [60]. Он основан на итерационной формуле

Здесь -релаксирующая функция, которая выбирается из соотношения

где константы такие, что С — релаксирующая постоянная. Заметим, что при алгоритм приводит непосредственно к алгоритму Ван Циттерта — Цернике. Смысл введения заключается в обеспечении положительности решения. Действительно, если стремится к нулю, то и стремится к нулю, тем самым ограничивая только неотрицательными значениями. Аналогично можно предложить и штрафную функцию для случая, когда априорно известна нижняя и верхняя границы изображения

В этом случае записывается следующим образом:

Очевидно, линейный алгоритм Циттерта — Цернике при этом превращается в нелинейный, а необходимым условием сходимости при этом является требование, чтобы оператор был сжатием.

Другим возможным способом придать значениям функции изображения свойство неотрицательности является подход, основанный на интерпретации как квадрата некоторой другой величины Этот подход приводит к тому, что спектр неотрицательного изображения может быть представлен автокорреляцией спектров

где — фурье-образ При этом ищется оценка, минимизирующая норму отклонения в спектральной области

при условии, что известно значение Итеративный алгоритм, предложенный Шеллом и Биро на основе данного подхода, определяется формулой [74, 100]:

где с — постоянная. Итерационный алгоритм (4.80) хорошо зарекомендовал себя в задачах восстановления радиоастрономических изображений.

Обратимся теперь к алгоритмам, использующим алгебраическую запись основного интегрального уравнения. Представим основное интегральное уравнение в виде системы линейных алгебраических уравнений и запишем его в матричной форме:

где — вектор матрица вектор Каждое уравнение в (4.81) представляет собой гиперплоскость в -мериом пространстве. Возьмем за начальное приближение , а следующее приближение выбираем в виде проекции вектора на гиперплоскость . Вычислим выражение

где а запись означает скалярное произведение. Теперь, найдем проекцию на гиперплоскость и получим Наконец, использовав последнее уравнение в (4.81), получим После этого определим новый цикл итераций: найдем проекцию на назовем ее Можно показать, что. векторная последовательность сходится для любых так что

Если система (4.81) имеет единственное решение, то этим решением как раз и будет являться если система имеет бесчисленное множество решений (например, когда к правой части добавлен шум), то оказывается решением, которое минимизирует норму невязки:

В этом смысле метод проекций дает результаты, аналогичные решению по методу наименьших квадратов.

Заметим, что в итерационную последовательность этого типа можно вводить операторы ограничений — например, использовать ограничение на неотрицательность решения . Обратимся теперь к используемым в линейной алгебре методам решения линейной системы уравнений (4.81). Первый из них известен как метод Якоби или метод подстановок. Он основан на следующей итерационной последовательности [112, 113]

где диагональная матрица, элементы которой совпадают с соответствующими элементами матрицы некоторый ускоряющий параметр (в классическом варианте метода его берут равным единице). Нетрудно видеть, что если положить где I — единичная матрица, то выражение (4.82) эквивалентно формуле Ван Циттерта — Цернике, записанной в матричном виде. Ограничения на решение могут вводиться в (4.82) заменой параметра а на диагональную матрицу ограничений, элементы которой равны

Смысл подобной диагональной матрицы заключается в том, что если решение отклоняется от более чем на некоторую величину , то «штраф» нарушается и Такой подход по сути аналогичен методу Джансона — Ван Циттерта с ограничениями при записи в матричном виде.

Другим подходом к решению системы (4 81) служит метод Гаусса—Зейделя (метод последовательных подстановок), который в матричном виде соответствует итерационной формуле [8, 137]

где соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы с нулевыми элементами на главной диагонали. Ограничения в (4.83) могут быть введены аналогично тому, как это делалось в (4.81) — заменой ускоряющего параметра а на диагональную матрицу ограничений Известно, что последовательность (4.83) имеет несколько лучшую сходимость, чем (4.81) [113, 131].

Пользуясь приемами, описанными в §§ 4.2, 4.3, нетрудно сформулировать алгоритмы, использующие формулы (4.81), (4.83), для случая более общих операторов ограничений и ввести регуляризацию процесса. Так, например, если воспользоваться результатами, касающимися регуляризации основного интегрального уравнения в матричном виде (в частности, выражением (2.12)), то итерационную формулу (4.83) можно переписать следующим образом:

Здесь регуляризирующая матрица:

где матрица стабилизатора задачи. В уравнении (4.84) имеется матрица ограничений С, аналогичных операторам проецирования в § 4.2. Например, для случая ограничения по положительности, матрица С — квадратная диагональная матрица, на диагонали которой расположены индикаторные функции

причем если соответствующий отсчет