8.2. ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для восстановления изображений с помощью оптических вычислительных устройств необходимы оптические пространственно-частотные фильтры, имеющие заданную передаточную функцию. Передаточная функция как фурье-образ весовой функции практически всегда комплексная, даже если весовая фунция действительна. Исключение составляет лишь случай четных весовых функций, у которых преобразование Фурье вещественно. Поэтому даже если анализируемый сигнал является действительной функцией, которую можно представить как распределение «почернений» на фотопластинке, пространственно-частотный фильтр для восстановления сигнала в общем случае нельзя изготовить в виде обычного фотографического транспаранта. На фотопластинке можно зарегистрировать лишь амплитудную часть комплексной передаточной функции. Для создания фазовой части передаточной функции необходим отдельный транспарант, прозрачность которого постоянна, а коэффициент преломления или толщина (поверхностный рельеф) от точки к точке меняются по заданному закону.

К сожалению, большинство известных способов создания фазовых транспарантов не обладает достаточной точностью. Кроме того, при изменении весовой функции необходимо заново рассчитывать фазовую часть передаточной функции и заново изготавливать соответствующий ей транспарант, т. е. совершать довольно сложные технологические процессы. Даже если добиться приемлемой точности и технологичности процесса изготовления фазового транспаранта, то останутся еще трудности прецизионного совмещения двух транспарантов (фазового и амплитудного) в частотной плоскости оптического коррелятора, а также исключения паразитных фазовых набегов световой волны, проходящей через оба транспаранта.

Для регистрации амплитудной и фазовой частей передаточной функции фильтра на одном транспаранте с помощью обычного фотографического процесса можно использовать методы голографии.

Голографический метод создания комплексных пространственно-частотных фильтров основан на получении дейетвительной

или комплексной функции из спектральной плотности суммы этой функции и из -функции.

Чтобы зарегистрировать комплексный спектр функции , где сформируем вспомогательную функцию которая отличается от наличием -функции, сосредоточенной в точке расположенной вне промежутка Фурье-образ функции равен

Запишем теперь спектральную плотность функции т. е. квадрат модуля (8.11), в виде

Последний член в правой части (8.12) пропорционален требуемой комплексной функции а имеющийся при нем линейный фазовый множитель обеспечивает возможность пространственного отделения этого члена от остальных. Действительно, после выполнения операции обратного преобразования Фурье над правой частью (8.12) находим, что в результате такого преобразования из последнего члена реконструируется т. е. получается функция сдвинутая на величину относительно точки При определенных условиях, накладываемых на соотношение между и протяженностью корреляционной функции все функции, порожденные другими членами в (8.12), пространственно отделены от и не перекрываются с ней. Это и позволяет рассматривать в последний член, пропорциональный независимо от остальных [7, 25].

На фотопластинке, установленной в выходной плоскости оптического фурье-анализатора, регистрируется интенсивность картины интерференции наклонно падающей плоской световой волны, называемой опорной волной, и волны, дифрагированной на объекте. Объектом голографирования в нашем случае служит транспарант с записью весовой функции Комплексной амплитуде поля опорной волны соответствует первый член в правой части (8.11), а комплексной амплитуде поля сигнальной волны, дифрагированной на транспаранте и прошедшей через линзу анализатора, — второй член. Используются также варианты методов, в которых точечный опорный источник света и транспарант помещены непосредственно во входную

плоскость оптического фурье-анализатора и образуют в этой плоскости распределение комплексных амплитуд света, соответствующее вспомогательной функции . В любом варианте проявленная фотопластинка является фурье-голограммой объекта. Она и используется в качестве пространственно-частотного фильтра, который устанавливается в частотную плоскость дифракционного оптического коррелятора для вычисления свертки

Рассмотрим, каким образом изготавливается голографический фильтр и формируется интеграл свертки. Пусть транспарант, имеющий пропускание, соответствующее действительной функции установлен в плоскости оптического фурье-анализатора так, что точка совпадает с оптической осью системы, и освещен параллельным световым пучком (рис. 8.2). Будем считать, что плоскость в общем случае не совпадает с передней фокальной плоскостью линзы но соблюдается условие соответствующее расположению транспаранта между линзой и ее передней фокальной плоскостью. В плоскости помещена фотопластинка. Под углом к оптической оси на фотопластинку направлен параллельный пучок света, являющийся опорным. Будем считать, что световая волна, направленная на транспарант, и опорная световая волна когерентны. По-прежнему будем рассматривать одномерный случай.

При этих допущениях объект создает в плоскости следующее распределение комплексных амплитуд:

где С — константа, содержащая множители, не зависящие от . Распределение комплексных амплитуд света, создаваемое в плоскости наклонно падающей опорной волной с амплитудой равно

Рис. 8.2. Схема изготовления голографического фильтра

Суммарную интенсивность света в плоскости

с учетом (8.14) и (8.13) запишем в следующем виде:

Амплитудное пропускание проявленной фотопластинки равно [62]

где у — коэффициент контрастности (тангенс угла наклона характеристической кривой фотослоя; длительность экспозиции; координата точки пересечения линейной части характеристической кривой с осью абсцисс.

Формулу (8.17), в которой соответствует (8.16), можно заменить ее приближением, соответствующим биномиальному разложению

Если амплитуда сигнальной волны значительно меньше амплитуды опорной волны то и вторым членом суммы (8.16) можно пренебречь. Учитывая это и отбрасывая члены второго порядка и выше в биномиальном разложении при получаем первое приближение пропускания голограммы

Рис. 8.3. Оптический коррелятор для голографической фильтрации сигналов

Из формулы (8.18) видно, что функция амплитудного пропускания голограммы содержит три члена, два из которых пропорциональны Если голограмму установить во входную плоскость оптического фурье-анализатора и осветить параллельным световым пучком, то в выходной плоскости появятся два изображения (прямое и сопряженное) объекта-функции . Эти изображения будут разнесены в разные стороны относительно светового пятна нулевого дифракционного порядка, образованного светом, прошедшим через голограмму без дифракции.

Установим голограмму в частотную плоскость дифракционного оптического коррелятора (рис. 8.3). Будем считать, что плоскость коррелятора находится на расстоянии от линзы (с фокусным расстоянием равным фокусному расстоянию линзы анализатора), причем а расстояние между частотной плоскостью и линзой равно . Мы предполагаем, что линза имеет фокусное расстояние в общем случае отличающееся от фокусного расстояния линзы а выходная плоскость коррелятора совпадает с задней фокальной плоскостью линзы Пусть во входной плоскости установлен транспарант с записью функции так, что начало отсчета совпадает с оптической осью коррелятора.

Тогда при освещении транспаранта плоской волной, распространяющейся вдоль оптической оси и имеющей амплитуду объект порождает в фокальной плоскости линзы коррелятора следующее распределение комплексных амплитуд света:

Это распределение соответствует последнему члену функции пропускания голограммы. Комплексная амплитуда поля волны на выходе из голограммы без учета постоянного множителя, зависящего от равна

(см. скан)

Поле, создаваемое волной в задней фокальной плоскости линзы пропорционально преобразованию Фурье от :

Обозначим и подставим (8.19) в (8.20). Получим

(см. скан)

Представим эту формулу в виде

Из (8.21) видно, что пропорционально свертке при условии устранения второго из экспоненциальных множителей в подынтегральном выражении. Этот множитель исчезает когда или когда Так как

то интегрирование по и при в (8.21) приводит к результату:

Используя фильтрующее свойство -функции, из (8.22) находим

Если фокальная плоскость коррелятора находитдя точно в передней фокальной плоскости линзы то и экспоненциальный множитель перед интегралом в (8.23) исчезает. В этом случае

где

Итак, комплексная амплитуда поля волны, образованной последним членом функции пропускания голограммы (8.18) в выходной плоскости дифракционного оптического коррелятора, пропорциональна искомой свертке Начало отсчета свертки как видно из (8.24), находится в точке

соответствующей направлению дифракционного порядка голограммы.

Второй член функции пропускания голограммы-фильтра в выходном распределении комплексных амплитуд света будет соответствовать функции, пропорциональной взаимной корреляционной функции

Эта функция расположена по центру относительно точки

соответствующей направлению «плюс» 1-го дифракционного порядка голограммы. В начале координат выходной плоскости коррелятора возникает световое распределение от первого члена функции пропускания (8.18), соответствующее нулевому дифракционному порядку голограммы.

Следует отметить, что величина расстояния от частотной плоскости до линзы коррелятора может быть произвольной, так как экспоненциальный множитель, зависящий от стоит только перед интегралом в (8.21) и исчезает при переходе от распределения комплексных амплитуд к физически регистрируемому на выходе коррелятора распределению интенсивностей -Вместе с тем требуется так выбирать расстояния чтобы удовлетворялось условие приводящее к исчезновению зависящего от А квадратичного экспоненциального множителя в подынтегральном выражении (8.21).