ГЛАВА IV. ЭНТРОПИЯ

11. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЦИКЛОВ

Рассмотрим систему которая совершает циклический процесс. Предположим, что во время цикла она получает или отдает теплоту источникам, имеющим температуру Пусть соответственно количества теплоты, которыми обмениваются источники с системой. Считаем, что положительно, если это — теплота, полученная системой, и отрицательно в противоположном случае.

Теперь докажем, что

и что при обратимом цикле в (61) стоит знак равенства. Чтобы доказать неравенство (61), введем, кроме источников, записанных выше, другие источники теплоты при произвольной температуре Т, а также обратимых циклических машин (возьмем циклов Карно действующих соответственно между температурами и температурой Действующий между температурами цикл Карно мы выберем так, чтобы он отдавал при температуре количество теплоты т. е. количество равное поглощенному системой при температуре

Согласно (58), количество теплоты, поглощенное в цикле от источника составляет

Рассмотрим теперь сложный цикл, состоящий из одного цикла системы и одного из циклов Карно Окончательное изменение теплоты каждого из источников с температурой во время сложных циклов

равно нулю. Источник с температурой передает системе количество теплоты но он получает столько же теплоты от цикла С другой стороны, источник с температурой теряет количество теплоты, равнее сумме тпеплотп [даваемых формулой (62)], поглощенных циклами Карно Таким образом, источник с температурой отдает количество теплоты, равное

Следовательно, в результате сложного цикла система, состоящая из получает некоторое количество теплоты от источника с температурой Та. Но мы уже видели, что при циклическом процессе выполненная работа равна общему количеству полученной системой теплоты. Таким образом, поскольку возвращаются к своим начальным состояниям в конце сложного цикла, то его единственный конечный результат — это превращение в работу теплоты, полученной от источника температуры Если бы было положительным, этот результат противоречил бы постулату Кельвина. Значит, или из (63)

что совпадает с (61).

Если циклы, совершаемые системой обратимы, то можно считать, что процесс идет в обратном направлении; тогда все изменяют знак. Применяя (61) к обратному циклу, получаем

или

Таким образом, если цикл обратим, то приведенное неравенство должно быть удовлетворено так же, как и (61), что возможно лишь тогда, когда стоит знак равенства. Поэтому для обратимого цикла мы должны иметь

что завершает доказательство нашей теоремы.

При выводе соотношений (61) и (64) мы предполагали, что система обменивается теплотой с конечным числом источников Важно, однако, рассмотреть ситуацию, при которой система обменивается теплотой с непрерывно распределенными источниками. В этом случае суммы в (61) и (64) должны быть заменены интегралами, взятыми по всему циклу.

Обозначая через интеграл, взятый по циклу, и через бесконечно малое количество теплоты, полученное системой от источника с температурой имеем

что справедливо для всех циклов, и

что справедливо только для обратимых циклов.