1.3. Некоторые примеры преобразований
В данном разделе мы рассмотрим три примера одномерных преобразований. Представлены достоинства и недостатки преобразований в свете кодирования изображений.
1.3.1. Преобразование Габора
Как было сказано, базисные функции преобразования должны быть локализованы как в пространственной (временной), так и в частотной областях. Одно из решений этой проблемы было предложено Д. Габором. Габор представил преобразование, в котором базисными функциями являются синусоиды, модулированные гауссовским окном. Преобразование Габора можно рассматривать как выполнение локализованной частотной декомпозиции в ряд перекрывающихся окон. Базисные функции Габора локализованы по частоте и по времени. Габор показал, что эти функции являются оптимальными с точки зрения локализации относительно выбранной им меры. (Позднее было показано, что выбор другой меры ведет к другим оптимальным функциям). Первые пять базисных функций преобразования Габора вместе с их спектрами показаны на рис. 1.4. Как сами базисные функции, так и их спектр являются гладкими и компактными. Функции Габора можно перенести и на двумерный случай. Они могут быть применены для сжатия изображения.
Главный недостаток преобразования Габора заключается в неортогональности базисных функций (то есть функции анализа коренным образом отличаются от функций синтеза). Функции анализа преобразования Габора являются плохо обусловленными как в пространственной, так и в частотной областях. Это приводит к распространению ошибок квантования коэффициентов по всей частотной и пространственной областям, несмотря на то, что значения коэффициентов вычислялись для локальной области.
Интересно отметить, что локализация базисных функций Габора может быть значительно улучшена, если использовать избыточное представление. Оно выполняется путем более частого, чем требуется, наложения окна Гаусса либо путем деления на части каждого частотного окна. Однако это приводит к увеличению числа коэффициентов, что неприменимо для кодирования. Таким образом, возможность применения избыточного преобразования Габора для целей кодирования требует дополнительного исследования.
(см. скан)
Рис. 1.4. Пять из шестнадцати базисных функций Габора с соответствующими спектрами Фурье. Преобразования изображены на линейной шкале в диапазоне от 0 до 
Некоторыми авторами обсуждалось применение похожих избыточных преобразований для целей кодирования. Однако высоких результатов достичь не удалось.
