2.5. Гладкость базисных функций

Обсудим свойство гладкости базисных функций Вначале покажем, почему гладкость должна учитываться в приложениях Далее продемонстрируем, как может быть определена гладкость базисных функций и соответствующих фильтров.

Функция, показанная на рис. 2.7, непрерывная, но не гладкая. Применение такой функции (и связанного с ней фильтра) для анализа сигнала приведет к появлению в коэффициентах неоднородностей, отсутствующих в исходном сигнале. Поэтому для лучшего представления сигнала желательно было бы иметь гладкие базисные функции. Существуют и другие аргументы в пользу необходимости гладкости. Так, ошибка квантования вейвлет-коэффициента на некотором уровне декомпозиции дает ошибку в реконструированном сигнале, пропорциональную базисным функциям этого уровня. При кодировании изображения однородная ошибка менее заметна глазу, чем неоднородная, даже если численно они одинаковы.

Так что принцип обеспечения гладкости базисных функций может быть хорошим критерием при проектировании фильтров для кодирования изображений. Следует сказать, однако, что некоторые специалисты не считают гладкость важным критерием, влияющим на эффективность кодирования.

Разработаны различные методы для определения гладкости базисных функций. Рассмотрим один из них. Данный метод заключается в преобразовании всех свойств гладкости в эквивалентные свойства итерируемых фильтров

Гладкость масштабирующей функции равна регулярности вейвлет-функции так как обе они могут быть записаны как бесконечное число сверток с одним и тем же фильтром (2.22), (2.33). Так что далее будет рассматриваться только

Говорят, что функция обладает гладкостью порядка если она раз дифференцируема и производная непрерывна. Таким образом, порядок гладкости - это некоторое целое число.

Чтобы функция обладала гладкостью порядка, необходимо как минимум нулей на частоте для соответствующего фильтра Наличие у фильтра большего количества нулей на данной частоте вовсе не означает больший порядок гладкости так как некоторые нули могут ухудшать гладкость.

Пусть - множитель, остающийся от после удаления нулей на частоте Тогда можно записать

Как было отмечено, гладкость ухудшается в силу наличия нулей . Если нули отсутствуют, то порядок гладкости - N. В противном случае нижняя граница для гладкости определяется как где ухудшение гладкости

Как и в (2.53), есть итерируемый фильтр, относящийся к . В общем, значение близко к в уже после 20 итераций

Так как вычислительная сложность и требования к памяти данного метода возрастают экспоненциально, часто пользуются упрощенной формулой, дающей нижнюю оценку для , следовательно, верхнюю границу для гладкости:

Можно показать, что гладкость базисных функций наиболее важна для представления полиномиальных сигналов. Если порядок гладкости функции она может эффективно использоваться в качестве базисной для представления полинома степени меньше . В этом случае все вейвлет-коэффициенты будут равны нулю. Так как изображения обычно относят к кусочно-полиномиальным сигналам степени 2, для их кодирования требуются вейвлет-функции со степенью гладкости не меньше 2.

Итак, в данной главе было осуществлено введение в теорию вейвлетов с точки зрения обработки сигналов. Дано определение как логического продолжения и После введения концепции кратномасштабного анализа мы сконцентрировались на обработке дискретных сигналов. Рассматривалось описание DWT в матричной форме и через банки фильтров. Также была обсуждена регулярность фильтров. В следующей главе будет проведено сравнение вейвлет-фильтров и фильтров, применяемых в субпо-лосном кодировании.