9.2.3. Практическая проверка точности аналитических выражений

Известно, что вейвлет-базис эффективно аппроксимирует кусочнорегулярные функции малым числом ненулевых коэффициентов. Так как изображения часто имеют кусочно-регулярные структуры, вейвлет-преобразование с успехом применяется в вейвлет-кодеках изображения. Основным положением теоремы 1 является то, что сортированные коэффициенты разложения сигнала в базис имеют рациональный спад.

Известна модель изображения, основанная на пространствах Бесова.

Пусть Если существует такие, что для всех вейвлет-коэффициент ранга ограничен то относится к семейству пространств Бесова, чьи индексы зависят от Рассмотрим кусочнорегулярное изображение которое является регулярным внутри регионов делящих Это изображение имеет неоднородности вдоль

границ которые имеют конечную длину. Можно доказать, что сортированные вейвлет-коэффициенты убывают как Эта модель применима к достаточно низкочастотным изображениям (типа всем известного изображения тогда как неоднородности высокочастотных изображений приводят к изменению экспоненты у. Для изображений поэтому возможна нормировка и сравнение убывания при увеличении в диапазоне [0,1]. Условие (9.21) предполагает медленное изменение у, как функции от

Можно выполнить практическую проверку точности аналитической формулы, даваемой теоремой 1. Для проверки используется вейвлет-кодек с равномерным квантователем, интервал возле нуля которого вдвое больше остальных интервалов, то есть Это является стандартным выбором для большинства вейвлет-кодеков изображения. Карта значений сжимается кодером длин серий. Отношение было вычислено для кодирования тестового изображения На это значение сравнивается с теоретической оценкой (9.26) без учета коэффициента Наклон в (9.28) вычисляется из сортированных вейвлет-коэффициентов Как видно из точно аппроксимирует истинное значение для Возрастание ошибки аппроксимации при объясняется невыполнением гипотезы

На рис. 9.2 показано значение вычисленное из энтропии квантованных вейвлет-коэффициентов. Теоретическая оценка (9.27) также показана на рисунке. Кривые близки друг к другу, что подтверждает точность вычислений.

Рис. 9.2. Сравнение с теоретической оценкой для вейвлет-кодека

Для упрощения вычисления зависимости скорости от искажения наклон аппроксимируется константой что соответствует кусочнорегулярной модели изображения. Хотя наклон отличен от единицы для высокочастотных изображений, эта аппроксимация оказывается достаточно точной в силу малой чувствительности и к флюктуациям Так как На рис. 9.3 показано которое

было вычислено для различных тестовых изображений. Для отношение — может быть аппроксимировано константой Искажение вычисляемое в (9.25), приблизительно равно

Отметим, что дает весьма точную оценку, несмотря на то, что наклон

Рис. 9.3. Флюктуации — вейвлет-кодирования изображений.

Теорема 2 дает аналитическое выражение для в, минимизирующего При Таким образом, теоретически доказывается правильность выбора исследователями параметра в

Итак, при кодировании с низкими скоростями функция скорость-искажение для вейвлет-кодеков может быть вычислена путем отделения коэффициентов, квантуемых в нуль, от других. Полученная функция скорость-искажение зависит, прежде всего, от точности нелинейной аппроксимации изображения малым числом базисных коэффициентов. Для вейвлет-базиса при убывает как где экспонента y имеет порядок 1.

Таким образом, полученные выражения значительно отличаются от известных из теории информации. Это объясняется тем, что при достаточно сильном сжатии интервалы квантования становятся большими, и не выполняется предположение о квантовании с высоким разрешением.