2.4.2. Описание DWT посредством блоков фильтров

Рассматривая в главе 1 субполосные преобразования, мы интерпретировали равенства, аналогичные (2.45) и (2.46), как фильтрацию с последующим прореживанием в два раза. Так как в данном случае имеется два фильтра то банк фильтров - двухполосный и может быть изображен, как показано на рис. 2.5.

Фильтры F и E означают фильтрацию фильтрами и соответственно. В нижней ветви схемы выполняется низкочастотная фильтрация. В результате получается некоторая аппроксимация сигнала, лишенная деталей низкочастотная (НЧ) субполоса. В верхней части схемы выделяется высокочастотная (ВЧ) субполоса. Отметим, что при обработке сигналов константа 21/2 всегда выносится из банка фильтров и сигнал домножается на 2 (см. рис.3.2, глава 3).

Итак, схема рис. 2.5 делит сигнал уровня на два сигнала уровня Далее, вейвлет-преобразование получается путем рекурсивного применения данной схемы к НЧ части. При осуществлении вейвлет-преобразования изображения каждая итерация алгоритма выполняется вначале к строкам, затем - к столбцам изображения (строится так называемая пирамида Маллата). В видеокодеках ADV6xx применена модифицированная пирамида Маллата, когда на каждой итерации не обязательно выполняется преобразование и по строкам, и по столбцам. Это сделано для более полного учета зрительного восприятия человека.

Рис. 2.5. Схема двухполосного банка фильтров

Получившееся преобразование аналогично (2.51). Однако существуют некоторые различия. При фильтрации сигнала конечной длины мы сталкиваемся с проблемой его продолжения на границе. Матричное выполнение DWT эквивалентно периодическому продолжению сигнала на границе. Этот тип продолжения является обязательным для ортогональных фильтров. В случае применения биортогональных фильтров появляются некоторые другие возможности в силу симметричности их характеристик. Подробнее этот вопрос будет рассматриваться в главе 3.

Схему, выполняющую DWT, можно представить еще и как показано на рис. 2.6. Здесь рекурсивная фильтрация и прореживание заменены одной операцией фильтрации и одной операцией прореживания на каждую субполосу. Определение итерационных фильтров легче всего дать в частотной области:

Рис. 2.6. Эквивалентная схема вейвлет-преобразования

В пределе итерационный фильтр сходится к в соответствии с (2.22):

Во временной области это означает, что график последовательности построенной против сходится к при стремящемся к бесконечности. На это изображено для фильтра Добеши длиной 4.

Определение DWT может быть дано по аналогии с Предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет длину Периодически продолжим его. Получим периодический сигнал с периодом Тогда

Заметим, что в действительности суммы конечные, так как итерируемые фильтры имеют конечную длину. Ряд DTWS может быть записан аналогично выражению (2.56):

Отметим, что (2.57) не есть дискретизированная версия непрерывного ряда так как вместо функции здесь мы имеем последовательность Однако с учетом (2.33) и (2.54) дискретная формула сходится в пределе к непрерывной.

Рис. 2.7. Демонстрация сходимости итерационных масштабирующих фильтров к непрерывной функции для фильтра Добеши длиной 4