2.2.1. Представление функций при помощи вейвлетов

При рассмотрении видно, что область построена из множества «колец», которые есть разность между двумя соседними пространствами. Эти разностные пространства обозначаются через и определяются как ортогональные дополнения областей до

Пусть есть базисная функция Так как можно записать

для некоторой последовательности По аналогии с ранее рассмотренным множеством функций определим семейство вейвлет-функций:

Функции идентичны полученным в разделе 2.1 после дискретизации (выражение (2.8)). Параметр в (2.9) в данном случае равен 2. Эти функции образуют ортонормированный базис

Существуют строгие зависимости между Вначале получим формулу, аналогичную (2.22). Перепишем (2.30) для частотной области:

заменим бесконечным произведением (2.22) и получим

Отметим, что пропорционально бесконечному произведению а не , так же, как и в (2.30), вейвлет был выражен в виде линейной комбинации масштабирующих функций.

Теперь получим выражения, связывающие последовательности Так как есть ортогональное дополнение функции должны быть ортогональны, и из (2.18) и (2.30) следует, что

Легко увидеть, что выбор

будет корректен для всех Эквивалент (2.35) в частотной области представляется в виде

С учетом этого из (2.32) получим

где без потери общности выбрано

Наконец отметим, что и функция и последовательность имеют нулевое среднее. Этот факт легко проверить, подставляя в (2.37) и (2.36) и используя свойство

и

Определение функций вейвлетов позволяет нам записать любую функцию в виде суммы проекций на

где

Если осуществлять анализ функции вплоть до некоторого масштаба то будет представлена суммой ее грубой аппроксимации и множества деталей

В качестве примера семейства вейвлет-функций, образующих ортонормальный базис пространства на рис. 2.4 показан вейвлет, соответствующий масштабирующей функции рис. 2.3. Это семейство вейвлетов называется вейвлетами Хаара.

Рис. 2.4. Пример вейвлет-функции: последовательность

Из теории известно, что в случае ортогональных вейвлетов последовательности не могут быть симметричными, если длина каждой из них превышает 2. Однако во многих приложениях свойство симметричности является важным. В этом случае отказываются от требования ортогональности и на вейвлет-функции налагают менее строгое требование биортогональности. Выражения для биортогонального кратномасштабного анализа аналогичны выписанным выше и здесь не приводятся.