2.3. Вейвлет-ряды дискретного времени

В большинстве приложений мы имеем дело с дискретными сигналами. Поэтому с точки зрения практики представляют интерес дискретные аналоги и которые преобразуют дискретный сигнал в непрерывный и дискретный сигналы, соответственно. К сожалению, формулы для вейвлет-преобразования и рядов вейвлетов дискретного времени и нельзя получить простой дискретизацией соответствующих формул для непрерывного времени. Также невозможно определить кратномасштабный анализ для дискретных сигналов, так как не существует базисных функций, масштабированные и смещенные версии которых давали бы нам базис

пространства пространства квадратично суммируемых последовательностей бесконечной длины.

Попробуем вывести формулы для из формул кратномасштабного анализа раздела 2.2. В приложении 1 обобщены все формулы для вейвлет-преобразований и рядов. Там же даны для сравнения аналогичные формулы преобразования и рядов Фурье.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция . Наш дискретный сигнал представим как последовательность коэффициентов при масштабирующих функциях, по которым раскладывается

где Другими словами, мы интерпретируем наш сигнал как последовательность коэффициентов разложения, полученную в ходе кратномасштабного анализа функции Тогда мы можем вычислить аппроксимации этой функции, принадлежащие пространствам Пространства не имеют значения при данной интерпретации.

Согласно концепции кратномасштабного анализа функция декомпозируется на две функции

Таким образом, получили две новые последовательности Этот процесс может быть продолжен по , и функция (а также и последовательность будет представлена совокупностью коэффициентов

Итак, концепция определена. Однако вычисления пока зависят от непрерывных функций Поэтому покажем, как вычисления могут быть выполнены с использованием операций только над дискретными сигналами.

С учетом того, что масштабирующая функция образует базис соответствующего пространства, из (2.20) можно получить

Так что оказывается возможным итеративное вычисление коэффициентов без непосредственного использования функций По аналогии с (2.44) можно записать для произвольного

получив, таким образом, полностью дискретный процесс декомпозиции. Последовательности называются фильтрами. Отметим, что имеют «половинную» длину по сравнению с (хотя, конечно, на данном этапе все последовательности бесконечны). Таким образом, не вводится избыточности.

Обратный процесс заключается в получении из

Отметим, что в данном случае суммирование производится по другим переменным по сравнению с формулами (2.45) и (2.46). Длина последовательности вдвое больше длины последовательности или

Подставляя (2.45) и (2.46) в (2.47), получаем следующие ограничения на фильтры

Выражение (2.48) для временной области эквивалентно выражениям (2.26) и (2.36) для частотной. Равенства (2.49) и (2.50) уже появлялись ранее, но в менее общей форме ((2.24) и (2.34), соответственно).