3.2. Методика расчета фильтров, позволяющих осуществить полное восстановление сигнала

Двухканальная схема анализа-синтеза представлена на рис. 3.2. Все фильтры данной схемы являются казуальными. Сдвиги фильтров осуществляются путем умножения на комплексную экспоненту. Входной сигнал S делится на две части путем фильтрации НЧ фильтром H, который производит смещение сигнала на отсчетов, и ВЧ фильтром G, который сдвигает сигнал на отсчетов. После прореживания осуществляется кодирование сигналов, передача их по каналу (на схеме эти операции не показаны). Секция синтеза выполняет интерполяцию сигналов и фильтрацию смещенными фильтрами F и E. После умножения на 2 для сохранения величины амплитуды, оба сигнала складываются. В результате чего получается исходный сигнал, если фильтры обладают свойством полного восстановления.

Рис. 3.2 . Схема двухполосной схемы анализа-синтеза: фильтры H и F низкочастотные, G и E - высокочастотные

Система анализа-синтеза описывается в области Фурье следующим образом:

где - выходной сигнал системы. Вторая часть (3.1) представляет собой искажение из-за наложения спектров и должна быть устранена для полного восстановления сигнала. Это может быть достигнуто в случае и тогда

или

Далее будем использовать (3.2). В этом случае функция передачи

Для достижения полного восстановления фильтры должны рассчитываться так, чтобы равнялось чистой задержке. Далее, необходимо выбрать и так, чтобы общая задержка системы равнялась нулю. Тогда из (3.4) имеем

для четных фильтров и

для нечетных, где и означают длины фильтров и Для симметричных фильтров задержка системы будет равна нулю, если положить

Для того чтобы равнялось чистой задержке, мы можем взять, например, фильтр коэффициенты которого равны

коэффициентам H , но записаны в обратном порядке и через один умножены на -1. В частотной области это означает

Отметим казуальность фильтра G. Отсюда вытекает

Чистая задержка достигается, если

в результате чего получается система с полным восстановлением. Отметим, что равенства (3.7) и (3.9) являются аналогами (2.36) и (2.26), соответственно. Другой возможной системой с полным восстановлением является биортогональная система, которая будет описана позднее.