Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Данная глава является введением в теорию вейвлет-преобразования. В ней рассмотрены непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования, ряды вейвлетов, быстрые алгоритмы вычислений. Также обсуждается свойство гладкости базисных вейвлет-функций. Математическое описание предполагает знакомство читателя с теорией преобразования Фурье.

2.1. Непрерывное вейвлет-преобразование

Важнейшим средством анализа стационарных непрерывных сигналов является преобразование Фурье непрерывного времени (CTFT). При этом сигнал раскладывается в базис синусов и косинусов различных частот. Количество этих функций - бесконечно большое. Коэффициенты преобразования находятся путем вычисления скалярного произведения сигнала с комплексными экспонентами:

где означает сигнал, а - его преобразование Фурье. С практической точки зрения CTFT имеет ряд недостатков. Во-первых, для получения преобразования на одной частоте требуется вся временная информация. Это означает, что должно быть известно будущее поведение сигнала. Далее, на практике не все сигналы стационарны. Пик в сигнале во временной области распространится по всей частотной области его преобразования Фурье. Для преодоления этих недостатков CTFT вводится кратковременное, или оконное преобразование Фурье (STFT):

в котором применяется операция умножения сигнала на окно перед применением преобразования Фурье. Окном - является локальная функция, которая сдвигается вдоль временной оси для вычисления преобразования в нескольких позициях Преобразование становится зависимым от времени,

и в результате получается частотно-временное описание сигнала. В качестве окна часто выбирается функция Гаусса, и в этом случае обратное преобразование тоже будет выполняться с использованием оконной функции Гаусса. Используются также многочисленные другие окна, в зависимости от конкретного приложения.

Недостаток STFT состоит в том, что при его вычислении используется фиксированное окно, которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.

Вейвлет-преобразование, рассматриваемое далее, решает эту и некоторые другие проблемы. Непрерывное вейвлет-преобразование есть скалярное произведение и базисных функций

так что

Базисные функции являются вещественными и колеблются вокруг оси абсцисс. Они определены на некотором интервале. Данные функции называются вейвлетами (в переводе - короткие волны) и могут рассматриваться как масштабированные и сдвинутые версии функции-прототипа Параметр показывает расположение во времени, параметр масштаба. Большие значения а соответствуют низким частотам, малые - высоким. Операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая позволяет сужать и расширять это окно. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна.

На рис. 2.1 показано разбиение частотно-временного плана для STFT и для . В соответствии с принципом неопределенности сужение окна анализа во временной области вызывает расширение его в частотной. Таким образом, площадь окна остается постоянной.

Для того чтобы было возможно обратное получение из результата функция должна удовлетворять следующему условию:

Рис. 2.1. Разбиение частотно-временного плана при STFT (а) и при CTFT (б)

где через обозначено преобразование Фурье Если - локальная функция, то из (2.5) следует, что ее среднее значение равно нулю:

Тогда формула реконструкции имеет вид

Как видно из (2.7) может быть выражена через сумму базисных функций с весами CTWTf(a, b).

Параметры а и меняются непрерывно, и поэтому множество базисных функций избыточно. Необходима дискретизация значений а и при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Можно показать, что дискретизация должна осуществляться следующим образом:

Возможен произвольный выбор параметра Без потери общности выберем Из (2.8) видно, что параметр местоположения зависит от параметра масштаба. С увеличением масштаба увеличивается размер шага сдвига. Это интуитивно понятно, так как при анализе с большим масштабом детали не так важны.

Для дискретных значений а и вейвлет-функции представляются в виде

Иногда дискретизированное преобразование называется вейвлет-преобразованием. Однако нам кажется более правильным ввести по аналогии с терминологией преобразований Фурье название рядов вейвлетов непрерывного времени так как мы имеем дело с дискретным представлением непрерывного сигнала. определяется путем дискретизации

Восстановление из последовательности возможно в том случае, если существуют числа такие что

для всех в Это означает, что хотя реконструкция из ее вейвлет-коэффициентов может не совпадать точно с , она будет близка к ней в среднеквадратическом смысле. Если то возможно полное восстановление, и семейство базисных функций образует ортогональный базис. Тогда

Если базисные функции нормализованы, то

Итак, мы дали определения вейвлет-преобразования и ряда вейвлетов для функций непрерывного времени по аналогии с соответствующими формулами для преобразования и ряда Фурье. Прежде чем перейти к рассмотрению дискретного вейвлет-преобразования, введем концепцию кратномасштабного анализа, которая является краеугольным камнем в теории вейвлет-преобразования.