1.2. Линейные преобразования конечных сигналов

1.2.1. Система фильтров анализа-синтеза

Будем рассматривать линейные преобразования сигналов конечного размера, которые могут быть выражены в терминах свертки с КИХ-фильтрами. На рис. 1.1 показана система, осуществляющая такое преобразование при помощи банков фильтров анализа-синтеза.

Обозначения на рисунке являются стандартными для цифровой обработки сигналов. означает операцию круговой свертки входного сигнала

Рис. 1.1. Банк фильтров анализа-синтеза

длиной с импульсной характеристикой КИХ-фильтра и Фурье - преобразование результата:

Естественным образом предполагается, что длина фильтра меньше размера изображения. Блоки означают децимацию в раз, блоки - интерполяцию в раз. Напомним, что децимация означает оставление лишь каждого отсчета, интерполяция означает вставку нулей между этими отсчетами. Предполагается, что - целые числа и делят

Будем называть такую систему системой А-С. Секция анализа системы А-С выполняет линейное преобразование над входным сигналом длиной . В результате получается последовательностей длиной

Операции, выполняемые секцией синтеза, являются обратными операциям секции анализа. В результате получается сигнал Точно так же строится система А-С и для многомерного сигнала.

Таким образом, коэффициенты преобразования вычисляются через свертку. Интуитивно понятно, что это хорошо, так как различные участки сигнала будут обрабатываться одинаковым образом. Далее, формулирование проблемы в частотной области позволяет легко разделить ошибку реконструкции на две части: элайзинговую составляющую и составляющую, инвариантную к сдвигу. Для этого запишем выходной сигнал схемы анализа в частотной области:

Тогда выходной сигнал схемы А-С

с учетом эффекта интерполяции и децимации в частотной области. Объединяя выражения (1.2) и (1.3), получаем

Здесь первое слагаемое соответствует отклику линейной времянезависимой системе, а второе соответствует элайзингу системы.