4.3.2. Расчет пары биортогональных фильтров

Процесс расчета линейно-фазовой биортогональной пары фильтров нечетной длины основан на фиксировании числа нулей на частоте Это приводит к максимально плоским фильтрам. Существуют и другие критерии построения этих фильтров.

Как известно, линейная фаза не может быть обеспечена у ортогональных фильтров длиной больше 2. Линейно-фазовый фильтр может быть симметричным или антисимметричным.

Из формул раздела 3.2 получаем модуль функции передачи

где - низкочастотные фильтры блоков анализа и синтеза, соответственно. Из этого равенства мы и получим пару фильтров. Кроме того, для описания фильтров в частотной области потребуем, чтобы они обладали некоторыми дополнительными свойствами. Во-первых, свойством симметрии в сочетании с нечетной длиной фильтров. Во-вторых, чтобы они имели определенное число нулевых моментов фильтров на частоте, равной половине частоты дискретизации.

Симметричные фильтры нечетной длины могут быть представлены как полиномы от

где Далее, если имеет нулевых моментов, то выражение для фильтра можно записать в виде

где некоторые функции. Однако (4.19) будет полиномом по только в случае четного Другими словами, симметричные фильтры нечетной длины могут иметь только четное количество нулей на частоте» Поэтому, если имеют нулей, соответственно, из (4.18) и (4.19) получаем

где полиномы от Теперь подставим (4.20) в (4.17) и получим

где Для удобства перепишем это равенство в виде полинома от

Нашей целью является найти полином который удовлетворяет

(4.22), и факторизовать функцию на две составляющие. Тогда мы получим пару биортогональных фильтров. Согласно теореме Безу, существует единственный полином степени меньше который является решением (4.22). Записав это уравнение в виде

можно разложить его правую часть в ряд Тейлора. Нам требуется только его первых членов, так как известно, что имеет максимальную степень Поэтому решение (4.22) будет иметь вид

После подстановки этого решения и записи вместо получаем

Дальнейший расчет пары биортогональных фильтров заключается в выборе степеней гладкости к и к для соответствующих фильтров и разделении правой части (4.25) на две части.

Например, можно взять и попробовать построить фильтры почти равной длины (равная длина невозможна). Каждый из двух фильтров дает свой косинусный член, и сумма квадратов синусов делится на две части. Сумма квадратов синусов становится равной

и единственный нетривиальный путь факторизовать ее на два полинома с вещественными коэффициентами есть

c

Тривиальная факторизация имеет члены 1 и и приводит к фильтрам намного различающейся длины (11 и 5). Решение (4.28) приводит к паре фильтров длиной 9 и 7, считающихся в среднем лучшими для сжатия изображения. Именно эта пара фильтров и была использована в видеокодеках

Так как биортогональная пара фильтров имеет два различных фильтра НЧ, необходимо решить, какой из них включать в секцию анализа, какой - в секцию синтеза. Решение обычно принимают исходя из необходимости того, чтобы фильтр синтеза был как можно более гладким. Это приводит к менее заметным ошибкам квантования в НЧ регионах изображения, к которым человеческий глаз очень чувствителен.

Из (4.25) могут быть получены и другие фильтры, если выбрать большие значения для и Тогда возможно большее количество решений, приводящих к разнообразным парам фильтров. Например, при имеем три решения, приводящих к фильтрам с длинами, различающимися на 2 (17 и 15).

Отметим, что вышеприведенные фильтры могли быть получены и матричным методом. Например, для пары фильтров 9 и 7 получается следующая матрица 12 х 12:

Таким же образом можно получить и обратную матрицу (4.30). Отметим, что обратная матрица не является просто транспонированной, так как свойство ортонормальности отсутствует. Для обеспечения полного восстановления

матричное произведение должно быть равно единичной матрице, что дает нам четыре уравнения. Далее, потребуем наличия 4 нулей на частоте то есть 4 нулевых моментов ВЧ фильтров, связанных с и Получаем еще 4 уравнения. Наконец, сумма коэффициентов обоих фильтров должна быть равна 1. Решив получившуюся систему 10 уравнений с 9 неизвестными, получим ту же пару фильтров, что и в предыдущем случае. Главным отличием является то, что в случае матричного метода требуется заранее знать длины фильтров.

Процесс расчета гарантирует, что сумма коэффициентов будет равна 1. Однако необходимо учитывать и энергию коэффициентов, которая может не быть равной 0.5. Например, можно уменьшить число нулевых моментов (а значит и число уравнений) и добавить уравнение для энергии коэффициентов.