9.1.1. Скалярное квантование с ограниченной энтропией

Скалярный квантователь аппроксимирует случайную переменную Х квантованной переменной которая может принимать конечное множество значений. Предполагается, что Х принимает значения в диапазоне который может соответствовать всей вещественной оси. Интервал декомпозируется на К интервалов переменной длины с Если то Для скалярного квантователя известно, что энтропия

есть нижняя граница среднего количества бит на символ, используемого для кодирования значений где - вероятность того, что Арифметическое энтропийное кодирование достигает сколь угодно близкого к этой границе среднего числа бит на символ. Поэтому в дальнейшем считается, что эта граница достигнута. Скалярный квантователь с ограниченной энтропией минимизирует для фиксированного среднеквадратичного искажения

Пусть есть плотность распределения вероятности отсчетов случайного источника Х. Считается, что квантователь имеет высокое разрешение, если примерно постоянна в каждом интервале квантования размером Это будет иметь место в случае, когда размеры достаточно малы относительно скорости изменения Известно, что равномерные квантователи являются оптимальными среди квантователей с высоким разрешением.

Если - квантователь с высоким разрешением относительно то

Это неравенство превращается в равенство, если и только если является равномерным квантователем. Тогда

Для фиксированного искажения при условии соблюдения гипотезы о высоком разрешении, минимальная средняя скорость достигается поэтому равномерным квантователем и

Зависимость искажения от скорости получается из (9.1):

По-видимому, даже если гипотеза о квантовании с высоким разрешением не выполняется, равномерный квантователь близок к оптимальному для большого класса источников, при условии, что число интервалов квантования достаточно велико.