2.4. Дискретное вейвлет-преобразование

На практике должно применяться к сигналам конечной длины. Таким образом, его необходимо модифицировать, чтобы из сигнала какой-то длины получать последовательность коэффициентов той же длины. Получившееся преобразование называется дискретное вейвлет-преобразование

Вначале опишем DWT в матричном виде, а затем - на основе банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке сигналов.

В обоих случаях мы предполагаем, что базисные функции компактно определены. Это автоматически гарантирует финитность последовательностей Далее предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет длину

2.4.1. Матричное описание DWT

Обозначим через вектор последовательность конечной длины для некоторого Этот вектор преобразуется в вектор содержащий последовательности каждая из которых половинной длины. Преобразование может быть записано в виде матричного умножения где матрица - квадратная и состоит из нулей и элементов умноженных на . В силу свойств полученных в разделе 2.3, матрица является ортонормированной, и обратная ей матрица равна транспонированной. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Возьмем фильтр длиной последовательность длиной а в качестве начального

значения Последовательность получим из по формуле (2.35), где Тогда операция матрично-векторного умножения будет представлена в виде

Обратное преобразование есть умножение на обратную матрицу

Таким образом, выражение (2.51) - это один шаг Полное DWT заключается в итеративном умножении верхней половины вектора на квадратную матрицу размер которой Эта процедура может повторяться раз, пока длина вектора не станет равна 1.

В четвертой и восьмой строках матрицы (2.51) последовательность циркулярно сдвинута: коэффициенты, выходящие за пределы матрицы справа, помещены в ту же строку слева. Это означает, что DWT есть точно один период длины сигнала получаемого путем бесконечного

периодического продолжения Так что DWT, будучи определенным таким образом, использует периодичность сигнала, как и в случае с DFT.

Матричное описание DWT кратко и ясно. Однако при обработке сигналов DWT чаще всего описывается посредством блок-диаграммы, аналогичной диаграмме системы анализа-синтеза (см. рис. 1.1).