8.3. Обработка сигналов в базисе мультивейвлетов

Как уже отмечалось, мультивейвлеты имеют потенциальные преимущества для обработки сигналов по сравнению с классическими вейвлетами. Особенно эффективным обещает быть их применение для сжатия изображений. Однако для реального применения мультивейвлетов необходимо решить ряд практических задач, одна из которых - предварительная обработка входных данных. Такая обработка необходима в связи с тем, что вход схемы мультивейвлет-преобразования должен быть векторным, а не скалярным, как обычно. Реальные же сигналы, как правило, одномерные или рассматриваются как одномерные. Поэтому возникает вопрос: каким образом "векторизовать" входной сигнал?

Очевидно, существует бесконечно много возможностей. Например, можно взять в качестве второй строки копию первой. Это приводит к увеличению количества отсчетов в два раза и для сжатия сигнала вряд ли применимо. Вместе с тем, для других приложений, например очистки сигнала от шумов, такой подход имеет право на жизнь. Надо заметить, что при обработке двумерных сигналов, количество отсчетов увеличивается уже не в два, а в четыре раза и, соответственно, увеличивается число вычислений.

Другой подход заключается в разделении входных отсчетов на четные и нечетные (в случае одномерного сигнала) или в использовании соседних строк (в случае изображения). При этом не происходит увеличения числа отсчетов. Недостатком такого подхода является введение дополнительных

ограничений на конструкцию мультифильтра, а в случае изображений - необходимость применения нетривиальной двумерной обработки.

Интересный метод, основанный на аппроксимационных свойствах вейвлет-преобразования, был предложен Д.Джеронимо. Он применим к семейству так называемых мультивейвлетов, названных так по начальным буквам фамилий их исследователей (Geronimo, Hardin, Massopust). Это - ортогональные симметричные мультивейвлеты. Пример масштабирующих функций приведен на рис. 8.3.

Из рис. 8.3 видно, что функция равна нулю при целом Масштабирующая функция ненулевая при и равна нулю при других целых Пусть функция принадлежит подпространству , порождаемому сдвигами масштабируемых функций Это означает, что может быть записана как линейная комбинация этих сдвигов:

Предположим, что отсчеты входной последовательности следуют в два раза чаще, чем отсчеты

Рис. 8.3. Масштабирующие функции мультивейвлетов:

Из рис. 8.3 и равенств (8.41) и (8.42) следует, что

Отсюда могут быть получены коэффициенты :

Эти выражения могут быть несколько упрощены с учетом симметрии . Таким образом, любой входной сигнал длины может быть разделен на две последовательности длиной

Дополнительным преимуществом аппроксимационного метода является то, что он хорошо согласуется с методом симметричного продолжения сигнала на границах. То есть последовательности также будут обладать свойством симметрии.

Пусть имеются две входные последовательности (одна четной длины и одна - нечетной):

В результате симметричного отражения сигнала получаем

После одного шага каскадного алгоритма получится четыре симметричные последовательности (две на выходе НЧ фильтра и две на выходе ВЧ фильтра).