9.1.2. Зависимость искажения от скорости

Получим зависимость искажения от скорости для коэффициентов вейвлет-разложения Средний бюджет бит, необходимый для кодирования есть Для квантования с высоким разрешением ошибка квантования будет минимальна при использовании равномерного скалярного квантователя. Процедура оптимального распределения бит должна минимизировать общее число бит для заданной суммарной ошибки Пусть есть среднее число бит на отсчет.

Применяя множители Лагранжа, можно доказать, что будет минимальна в случае, если все равны. Тогда

где есть средняя дифференциальная энтропия:

Искажение (9.4) зависит от базиса вейвлетов через . В общем случае трудно найти минимизирующий так как плотность распределения вероятности может зависеть от сложным образом. Если распределен по гауссовскому закону, то коэффициенты будут гауссовскими случайными переменными в любом базисе. В этом случае плотность распределения вероятности зависит только от дисперсии и

Данное выражение подставляется в (9.4) :

Известно, что минимально, если и только если G является базисом Карунена-Лоэва для Y, то есть G диагонализирует ковариационную матрицу Y. Таким образом, оптимальным с точки зрения кодирования с преобразованием базисом для гауссовского процесса является базис Карунена-Лоэва. Если Y не является гауссовским (например, в случае изображения), базис Карунена-Лоэва не является априорно оптимальным.

Наиболее популярным при кодировании изображений является разделимый базис вейвлетов. Разделимый вейвлет-базис включает в себя три семейства вейвлетов с горизонтальной, вертикальной и диагональной ориентацией, индексируемые При ориентации и масштабе вектор вейвлета

примерно центрирован в точке с квадратной областью определения, размер которой пропорционален 2. Как было отмечено, при высоких битовых скоростях кодирования минимальное искажение достигается путем равномерного квантования всех коэффициентов декомпозиции. Гладким участкам изображения соответствуют вейвлет-коэффициенты с малым значением амплитуды, которые квантуются в нуль. Для повышения эффективности кодирования вейвлет-коэффициенты сканируются в заранее определенном порядке, и позиции нулевых коэффициентов кодируются кодером длин серий. Амплитуды ненулевых квантованных коэффициентов кодируются кодером Хаффмана или арифметическим кодером.

Из формулы (9.4) следует, что

где есть средняя дифференциальная энтропия вейвлет-коэффициентов при всех масштабах и ориентациях. Из данной формулы следует, что является убывающей функцией с наклоном -2. Однако из практики известно, что для области функция убывает значительно быстрее. Для данной области формула (9.4) не выполняется в силу того, что предположение о квантовании с высоким разрешением уже неверно. Сжатие изображения с применением вейвлет-преобразования достигает хороших результатов для скоростей значительно меньших 1 бит/отсчет. Поэтому в следующем разделе исследуется зависимость скорости от искажения для низких скоростей кодирования.