9. Разложение гиперболических функций в степенные ряды и в тригонометрические ряды Фурье

Возьмем разложение показательной функции в ряд по степеням

Этот ряд абсолютно сходится при всех значениях х.

Если в этом тождестве заменить х на х, то получим разложение функции

Полусумма и полуразность функций дают разложения в степенные ряды гиперболических функций

которые также абсолютно сходятся при всех х.

Ниже приводятся разложения некоторых других функций с последующим выводом:

(см. скан)

Для получения рядов для найдем сначала разложение вспомогательной функции в ряд по

степеням х, приняв Пусть

где - коэффициенты, подлежащие определению. Они называются числами Бернулли.

Так как, с другой стороны,

то имеем тождество

откуда путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х получим бесконечную систему уравнений относительно неизвестных Сравнивая свободные члены, найдем Приравнивая нулю коэффициент при получим общий вид уравнения системы:

или

Покажем, что все числа с нечетными индексами, кроме равны нулю.

Заменив в равенстве на будем иметь:

Путем вычитания получим:

Но, с другой стороны,

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правых частях двух последних равенств, получим:

Левая часть равенства (12) напоминает разложение бинома Ньютона, и потому оно может быть записано в символической форме в виде

Этй формула в раскрытом виде дает равенство (12), если показатели степени В заменить соответствующими индексами.

Пользуясь формулой (12) можно найти числа принимая последовательно Приводим значения нескольких первых чисел (напомним, что

Таким образом, разложение функции имеет вид:

Так как

то, заменив в последнем равенстве на х, будем иметь:

откуда

Для получения разложения воспользуемся формулой (20) из этой главы:

которую преобразуем к виду

Отсюда следует, что

или, используя разложение

Для получения разложения представим его предварительно в таком виде:

Воспользуемся теперь разложениями Получим:

Разложение получим способом неопределенных коэффициентов.

Пусть

где коэффициенты подлежат определению. Выпишем тождество

и путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х получим бесконечную систему уравнений относительно неизвестных Сравнивая свободные члены, получим Приравнивая нулю коэффициенты при получим:

Умножим обе части полученного равенства на и одновременнозаменим единицей; будем иметь:

Нетрудно заметить, что левая часть равенства (13) напоминает разложение бинома Ньютона и может быть записана в символической форме:

Эта формула в раскрытом виде дает равенство (13), если показатели степени Е заменить соответствующими индексами.

Принимая последовательно находим несколько первых чисел (напомним, что

Числа называются эйлеровыми числами. Очевидно, все эйлеровы числа с нечетными индексами равны нулю. Итак,

Разложение в ряд можно лолучить путем интегрирования.

Имеем:

причем соответствует второму члену ряда). Аналогично получим:

Ряды для функций и приведены без вывода.

Из теории рядов Фурье известны разложения показательных функций в тригонометрические ряды Фурье на промежутке

Беря полусумму и полуразность этих рядов, получим разложения в ряды Фурье гиперболических функций

Приведем без доказательства еще некоторые разложения гиперболических функций в тригонометрические ряды Фурье:

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)