Установившееся распределение температуры в стержне.

Задача 14. Концы тонкого однородного призматического стержня длиной поддерживаются при постоянных температурах Площадь и периметр поперечного сечения стержня равны соответственно Температура окружающей среды Коэффициент теплопроводности стержня, зависящий от его вещества, Коэффициент теплоотдачи от стержня к окружающей среде Найти установившееся (т. е. не зависящее от времени) распределение температуры в стержне.

Решение. Выберем начало отсчета на левом конце стержня и направим ось Ох по оси стержня (рис. 34). Выделим бесконечно малый элемент стержня между двумя сечениями

Рис. 34.

Согласно основному допущению теории теплопроводности, тепловой поток через элементарную площадку в направлении Ох при установившейся температуре пропорционален площади о и скорости падения температуры в направлении Ох — температурному

градиенту

(знак минус берется потому, что тепло распространяется от более нагретой части стержня к менее нагретой, так что в том именно случае, когда температура Т в направлении Ох падает, т. е. когда и наоборот, когда Поэтому количество тепла которое пройдет через первое сечение х за единицу времени, равно через второе сечение пройдет количество тепла Следовательно, если бы не было теплоотдачи в окружающую среду, то в выделенном элементе задержалось бы количество тепла

Согласно закону Ньютона, количество тепла, отдаваемое элементом поверхности при температуре Т окружающей среде температуры за время пропорционально площади (в нашем случае времени и разности температур Это количество тепла за единицу времени составляет (мы полагаем стержень настолько тонким, что теплоотдачей через площади концов стержня можно пренебречь), и оно равно — вычисленному выше. Приравнивая друг другу эти величины, получаем дифференциальное уравнение

или

Если обозначить то мы приходим к уравнению Его общее решение (см. пример 1 п. 11):

Произвольные постоянные и определим из граничных условий

Имеем:

и следовательно, частным решением будет

Правую часть мржно преобразовать, приведя ее к общему знаменателю:

Таким бразом, температура в стержне распределяется по закону

Произведем числовой расчет. Пусть

Из таблиц гиперболических функций находим и потому

Для этой функции можно составить таблицу и построить график (рис. 35).

Исследование функции Т показывает, что минимум ее находится вблизи менее нагретого конца стержня. Чем больше значение а, тем более резким будет этот минимум.

При дифференциальное уравнение принимает вид

его общее решение представляет собой семейство прямых.

Предположим, что температура окружающей среды и вычислим количество тепла, отдаваемое стержнем среде за единицу времени.

Элемент стержня отдает тепло в количестве

а количество тепла, отдаваемое всем стержнем, равно

Задача 15. Решить задачу 14 при условии, что температура на правом конце не задана.

Решение. Совершенно ясно, что весь ход решения предыдущей задачи остается без изменения вплоть до составления дифференциального уравнения и нахождения его решения. Расхождение имеет место только в граничных условиях, из которых сохраняется только одно а второе предстоит установить. Для этой цели вычислим количество тепла, подводимого к концу стержня, - и приравняем его количеству тепла, отдаваемого

среде через сечение стержня, будем иметь:

Это и есть второе граничное условие.

Если теперь продифференцировать общее решение уравнения и подставить в выражения Т и их значения при то из последнего граничного условия найдем соотношение между Зная из первого граничного условия, найдем из этого соотношения и

Рис. 35.

Обычно теплоотдачей через конец стержня пренебрегают, полагая ее ничтожно малой сравнительно с теплоотдачей через боковую поверхность стержня.

Это равносильно тому, что во втором граничном условии полагают вследствие чего оно примет вид:

Из этого равенства находим:

а так как то и частное решение принимает вид

или

Заметим, между прочим, что если полагать стержень достаточно длинным, то очень близок к единице.

Предположим, что температура среды и определим температуру на правом конце стержня, т. е. при Общее решение в этом случае будет

Для нахождения произвольных постоянных использусм граничные условия:

Первое условие дает а второе —

или

откуда

и потому

Температуру на правом конце стержня получим, если в этой формуле положим

Вычислим количество тепла, отдаваемое стержнем в течение единицы времени. Очевидно, оно равно тому количеству тепла, которое пройдет за это время через начальное сечение стержня а именно:

Произведем числовой расчет для решения следующей задачи.

Задача 16. В подшипнике вала установившаяся температура конца вала, где находится подшипник, превышает

температуру воздуха на 60° С. Вычислить часовое количество тепла, отводимого вдоль вала, если длина вала диаметр сечения вала см, так что Кроме того, известно, что

Решение. По формуле находим в нашем случае и искомое количество тепла

Задача о распределении температуры в стержне значительно упростится, если предположить, что стержень полуограниченный, т. е. имеет один конец, например, левый а вправо простирается в бесконечность. В этом случае общее решение дифференциального уравнения

удобно взять в форме

а произвольные постоянные можно определить из граничных условий

Из второго условия заключаем, что . В самом деле, при и любом множителе следовательно, необходимо, чтобы при а это возможно только при Обращаясь к первому условию, находим

Итак, частное решение будет иметь вид

Полученный результат можно использовать при решении следующей задачи.

Задача 17. У двух длинных круглых стержней, из которых один несколько толще другого, на одном конце поддерживается температура Оба стержня сделаны из одного и того же материала и оба отдают часть тепла

в окружающий воздух постоянной температуры Какой из них будет теплее на расстоянии единицы длины от нагретого конца?

Решение. На основании предыдущего имеем для более тонкого стержня закон распределения температуры

где

(периметр сечения стержня площадь сечения где — радиус), а для более толстого стержня где радиус сечения толстого стержня).

Возьмем отношение

и положим в нем одновременно заменив их выражениями через

Тогда

Так как и показатель степени в правой части положительный. Отсюда следует, что правая часть больше единицы; значит,

т. е. на расстоянии единицы от нагретого конца температура более толстого стержня выше температуры более тонкого.