Эвольвента цепной линии (трактриса).

Эвольвентой, или разверткой кривой, называется такая кривая, по отношению к которой данная кривая является эволютой. Эволюта и эвольвента обладают следующим свойством: касательная к эволюте служит нормалью к эвольвенте. Это свойство позволяет составить уравнение эвольвенты, если известно уравнение эволюты.

Пусть уравнение эволюты следующее:

Тогда уравнение касательной к ней будет иметь вид

Для нахождения уравнения эвольвенты заметим, что ее угловой коэффициентсвязан с угловым коэффициентом эволюты соотношением

где положено

В связи с этим уравнение касательной преобразуется к виду или , где заменены текущими координатами точки, эвольвенты .

Из равенства можно выразить Е как функцию , следовательно, последнее уравнениие запишется так:

Взяв производные по х от обеих частей этого равенства, получим дифференциальное уравнение эвольвенты, из которого определим у как функцию после чего находим или Таким

образом, получены параметрические уравнения эвольвенты:

Исключая из них параметр получим уравнение эвольвенты в обычной декартовой форме

Найдем уравнение эвольвенты цепной линии Для удобства следования приведенной выше схеме запишем заданное уравнение в виде и составим уравнение касательной к цепной линии:

Так как где угловой коэффициент эвольвенты, то последнее уравнение примет вид

Заменим здесь через функцию от Это легко сделать, если учесть, что а значит, откуда Замечая, кроме того, что получим после подстановки и замены X, Y через

или

Продифференцировав по х, получим:

или

Заменяя через будем иметь:

или

Это линейное дифференциальное уравнение порядка. Его общее решение

Так как

Вместо удобнее ввести другой параметр, например положив где — угол, образованный касательной к эвольвенте с осью тогда и мы получим:

Подставив выражение у через в уравнение и заметив, что получим x как функцию

или

Таким образом, параметрическими уравнениями эвольвенты цепной линии служат уравнения

Это семейство кривых, называемых трактрисами. В частном случае, при , получаем:

или, исключая параметр

Рассмотрим несколько подробнее трактрису и ее свойства. Прежде всего дадим определение трактрисы независимо от ее связи с цепной линией. Трактрисой называется плоская крцвая, для которой длина отрезка касательной между точкой касания М (рис. 19) и прямой называемой базой трактрисы, есть величина постоянная. Трактрису можно определить и так: есля к одному концу гибкой нерастяжимой нити длины а прикреплена материальная точка М, а другой конец Р движется по прямой, то траектория точки М есть трактриса. Отсюда происхождение названия «трактриса» — линия влечения.

Рис. 19.

Составим параметрические уравнения трактрисы, приняв за базу ось а за параметр — угол наклона касательной к оси Ох (рис. 19). Если а — длина отрезка касательной,

то следует из равенства Путем интегрирования находим х как функцию

Зададим точку , через которую проходит трактриса. Это условие позволит определить постоянную интегрирования С. В точке А с ординатой имеет место равенство а значит, поэтому

откуда

Таким образом, параметрические уравнения трактрисы, проходящей через точку , принимают уже знакомый нам вид

При и трактриса асимптотически приближается к базе. При — особая точка . Касательная к ней совпадает с осью Оу.

Если от параметрических уравнений перейти к неявному уравнению и при этом ввести ареакосинус гиперболический (см. стр. 47), то получим уравнение трактрисы в виде

Трактриса обладает следующим свойством: длина отрезка касательной в любой ее точке есть среднее пропорциональное между длиной отрезка нормали и

радиусом кривизны в этой точке. В самом деле, вычислим радиус кривизны трактрисы. Так как

то . С другой стороны, длина отрезка нормали между базой и точкой касания равна Поэтому что и требовалось доказать.

Между прочим, бтсюда следует, что для построения центра кривизны достаточно восставить перпендикуляр к базе в точке ее пересечения с касательной и продолжить его до пересечения с нормалью.

Этот способ построения в свою очередь позволяет определить координаты центра кривизны трактрисы (см. рис. 19):

Рассматривая здесь как параметр, получим параметрические уравнения эволюты трактрисы. Исключим параметр Для этого из первого уравнения найдем и подставим во второе. Имеем:

и потому Эволютой трактриссы оказалась цепная линия.

Обычно в параметрических уравнениях цепной линии в качестве параметра принимают угол а между касательной в любой ее точке с осью Так как , то

уравнения цепной линии примут известный нам вид:

где текущие координаты заменены через .