Движение материальной точки.

Задача 2. Материальная точка массы движется прямолинейно под действием силы отталкивания от некоторого центра. Эта сила пропорциональна расстоянию точки от центра (коэффициент пропорциональности Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения (коэффициент пропорциональности Скорость в начальный момент, когда точка находится на расстоянии а от центра, равна и направлена по прямой, соединяющей дцржущуюся точку с центром. Найти закон движения точки.

Решение. Если примем центр за начало координат О, а траекторию точки за ось то дифференциальное уравнение движения запишется в виде

а начальные условия: при

Путем деления обеих частей уравнения движения на получим:

Общее решение этого уравнения (см. пример 3 п. 11):

где положено

Из начальных условий находим, что а и, следовательно,

Задача 3. Определить закон прямолинейного движения материальной точки массы притягиваемой к центру с силой, пропорциональной расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности Сопротивление

среды пропорционально скорости (коэффициент пропорциональности начальный момент времени расстояние тбчки от центра равно а, а скорость направлена по прямой, соединяющей точку с центром, и равна при

Решение. Дифференциальное уравнение движения

Корни характеристического уравнения:

Рассмотрим три случая.

1. . Положим тогда и общее решение будет

Из начальных условий находим, что

и, следовательно, закон движения

Это уравнение можно преобразовать к виду

где

Оно определяет колебательное движение с периодом и переменной амплитудой .

2. . Положим тогда и общее решение (см. пример будет

Из начальных условий находим

и, следовательно, закон движения:

Движение апериодическое (не колебательное).

3. . В этом случае , и общее решение будет

Из начальных условий находим и» следовательно, закон движения

Как и в случае 2, движение апериодическое.

Рис. 27.

Задача 4. Материальная точка массы отталкивается от оси Ох с силой, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности . В начальный момент времени расстояние между ними равно а, а скорость параллельна оси Ох и равна (рис. 27). Найти уравнение траектории точки.

Решение. Составляем систему дифференциальных уравнений движения точки на плоскости:

Из первого уравнения имеем а из второго (см. пример Начальные условия: при Подставляя их в общие решения для х а у, получим:

и уравнения движения точки (они же — уравнения траектории в параметрическом виде) можно записать так:

Исключим из этих уравнений Для этого из первого уравнения найдем и подставим во второе уравнение; будем иметь . В частном случае, когда траекторией служит цепная линия