ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ

1. Введение. Определение гиперболических функций

В математике и ее приложениях к естествознанию и технике находят Широкое применение показательные функции. Это, в частности, объясняется тем, что многие изучаемые в естествознании явления относятся к числу так называемых процессов органического роста, в которых скорости изменения участвующих в них функций пропорциональны величинам самих функций. Если обозначить через у функцию, а через х аргумент, то дифференциальный закон процесса органического роста может быть записан в виде

где — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.

Интегрирование этого уравнения приводит к общему решению в виде показательной функции

Если задать начальное условие при то можно определить произвольную постоянную и таким образом, найти частное решение

которое представляет собой интегральный закон рассматриваемого процесса.

К процессам органического роста относятся при некоторых упрощающих предположениях такие явления, как,

например, изменение атмосферного давления в зависимости от высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад, охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоянной температуры, унимолекулярная химическая реакция (например, растворение вещества в воде), при которой имеет место закон действия, масс (скорость реакции пропорциональна наличному количеству реагирующего вещества), размножение микроорганизмов многие другие.

Возрастание денежной суммы вследствие начисления на нее сложных процентов (проценты на проценты) также представляет собой процесс органического роста.

Эти примеры можно было бы продолжить.

Наряду с отдельными показательными функциями в математике и ее приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные комбинации функций — так называемые гиперболические функции. Этих функций шесть, для них введены следующие специальные наименования и обозначения:

Возникает вопрос, почему даны именно такие названия, при чем здесь гипербола и известные из тригонометрии названия функций: синус, косинус и т. д. Как мы сейчас убедимся, эти названия не случайны. Оказывается, что соотношения, связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с единичной

полуосью. Этим как раз и оправдывается наименование гиперболических функций.

Возьмем на окружности (рис. 1) точку построим острый центральный угол и опустим из точки М перпендикуляр на ось Тогда (так как радиус окружности Проведя в точках А и Р касательные к окружности до пересечения их с продолжением радиуса в точках С и будем иметь: и

Рис. 1.

Заметим, что между центральным углом (выраженным в радианах) и площадью кругового сектора имеется простая зависимость: . В самом деле, как известно, , где — дуга окружности, на которую опирается центральный угол радиус окружности. Из определения радианной меры угла следует, что но в нашем случае и потому или

Следовательно, аргумент тригонометрических функций который обычно истолковывается геометрически как угол, может рассматриваться при желании как удвоенная площадь кругового сектора Именно такое толкование аргумента мы примем в дальнейшем.

Теперь возьмем равностороннюю гиперболу и произведем такие же построения, что и для окружности. Покажем, что где есть удвоенная площадь гиперболического сектора (но не угол!).

Непосредственно из чертежа имеем: но где х и у — координаты точки М гиперболы, а можно вычислить с помощью определенного интеграла.

Рис. 2.

Из уравнения равносторонней гиперболы находим, что для точек ее верхней части а потому

Для вычисления этого интеграла применим способ интегрирования по частям, положив

Тогда получим , следовательно,

Первый член правой части равен а второй преобразуем следующим образом:

Таким образом, подлежащий вычислению интеграл может быть записан в виде

Второй член правой части последнего равенства есть вычисляемый интеграл; перенеся его влево, разделив обе части полученного равенства на 2 и учитывая, что

будем иметь:

Итак,

или, потенцируя,

Если разделить обе части уравнения равносторонней гиперболы на соответствующие части последнего уравнения, то получим еще одно уравнение, связывающее х и у:

Из системы этих двух уравнений относительно х и у получаем:

Так как х и у равны соответственно и а полученные комбинации показательных функций, согласно определению, равны то

Заметим попутно, что уравнения рассматриваемые совместно, являются параметрическими уравнениями равносторонней гиперболы с полуосью а (точнее, ее правой ветви), подобно тому как параметрическими уравнениями окружности радиуса а являются уравнения . В самом деле, исключим параметр для чего возведем в квадрат обе части каждого из уравнений и из вычтем

т.е. а это и есть уравнение равносторонней гиперболы в канонической форме.

Если провести касательную к гиперболе в точке А до ее пересечения с прямой в точке С, то из подобия треугольников и имеем:

откуда

Аналогичным образом, отложив на оси Оу отрезок и проведя из точки Р прямую параллельно оси Ох до пересечения с прямой в точке можно показать, что Это вытекает из подобия треугольников и имеем:

откуда

Так же легко убедиться в том, что и равны соответственно Мы на этом останавливаться не будем.

Выясним теперь, как изменяются гиперболические функции при изменении аргумента, который в дальнейшем будем обозначать через х.

Непосредственно из определения имеем Если переписать выражение для в виде

то мы обнаружим, что когда аргумент х возрастает от 0 до то первый член возрастает неограниченно, а второй член убывает, стремясь к нулю. Следовательно, при принимает сколь угодно большие положительные значения, стремясь к При изменении аргумента от 0 до первый член а второй следовательно, при стремится к

Таким образом, областью определения и областью значений функции является промежуток

Из определения имеем Если переписать выражение для в виде то легко установить, что при изменении х от 0 от возрастает от I до а при изменении х от — со до убывает от до 1, так как что следует непосредственно из определения.

Таким образом, областью определения функции является промежуток а областью значений — промежуток

Если в равенстве разделить числитель и знаменатель правой части на то получим откуда заключаем, что представляет собой правильную дробь, поскольку числитель всегда меньше знаменателя; при этом

При изменении х от 0 до возрастает от 0 до а при изменении х от до 0 — возрастает

от — 1 до 0. Таким образом, областью определения функции является промежуток а областью значений — промежуток

Из равенства находим, что при изменении х от 0 до убывает от до 1, а при изменении х от до 0 убывает от — 1 до . В точке не определен: при стремлении х к 0 справа при стремлении х к 0 слева

Областью определения функции являются промежутки а областью значений — промежутки Таким образом,

Совершенно аналогично можно исследовать изменение функций Мы на этом останавливаться не будем.

Заметим, что при достаточно больших значениях значения мало отличаются от соответствующих значений а значения — от При достаточно больших по абсолютной величине, но отрицательных значениях х функция мало отличается от — от

Если произвести замену аргумента х на то получим:

что доказывает четность функции и нечетность функций и

Непосредственно из определения следует, что

т. е. что функции могут быть представлены как сумма и разность четной и нечетной функций.

Ниже приведены графики гиперболических функций с их краткими описаниями.

График гиперболического синуса приведен на рис. 3. Функция нечетная, монотонно возрастает от до В начале координат график имеет центр симметрии и точку перегиба. Угол образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен Асимптот нет.

Рис. 3.

Рис. 4.

График гиперболического косинуса (рис. 4) называется цепной линией (см. стр. 92). Функция четная, при убывает от до при возрастает от до Минимум в точке График симметричен относительно оси Интересно отметить, что он расположен выше параболы показанной на рис. 4 пунктиром. Асимптот не имеет.

График гиперболического тангенса приведен на рис. 5. Функция нечетная, монотонно возрастает от — 1 до -1-1. В начале координат график имеет точку перегиба и центр симметрии. Угол образованный с осью абсцисс касательной в этой точке, равен График имеет горизонтальные асимптоты

График гиперболического котангенса приведен на рис. 6. Функция нечетная; — точка бесконечного

разрыва. При функция убывает от — 1 до при убывает от до 1. Экстремумов не имеет.

Рис. 5.

Рис. 6.

Точек перегиба у графика нет» имеются асимптоты: горизонтальные и вертикальная