Натуральное уравнение линии.

Натуральным уравнением линии называется уравнение, связывающее ее радиус кривизны с длиной дуги, отсчитываемой от некоторой точки линии. Выведем натуральное уравнение цепной линии, приняв за точку отсчета ее вершину . Так как радиус кривизны цепной линии в произвольной точке равен а длина дуги равна то, исключив из этих двух равенств получим искомое уравнение. Имеем

откуда следует, что

Выведем также натуральные уравнения эволюты и эвольвенты цепной линии. Напомним сначала два известных свойства этих линий. Свойство первое: нормаль в точке эвольвенты служит касательной в соответствующей точке эволюты; свойство второе: приращение радиуса кривизны эвольвенты равно по абсолютной величине длине дуги эволюты между ее двумя соответствующими точками. Пользуясь этими свойствами, выведем два важных для дальнейшего соотношения. Если обозначить через радиус кривизны и длину дуги эвольвенты, а через — радиус кривизны и длину дуги эволюты, то последнее свойство можно записать в виде отсюда имеем . В пределе получаем откуда и следовательно, , где С — произвольная постоянная, которую, в частности, можно положить равной нулю (выбрав определенным образом начало отсчета ), и тогда

Второе соотношение связывает радиусы кривизны эволюты и эвольвенты. Согласно определению, имеем где — углы смежности эволюты и эвольвенты. Путем деления получим но как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, следовательно, Поэтому последнее соотношение преобразуется к виду или

Теперь обратимся к цепной линии и прежде всего дадим вывод натурального уравнения ее эволюты. Обозначая через и радиус кривизны и длину дуги цепной линии, а через и о — соответствующие величины для эволюты цепной линии, мы сводим нашу задачу к нахождению зависимости между и . Из последнего равенства имеем или поскольку (мы принимаем Путем дифференцирования по обеих частей натурального уравнения цепной линии получим сравнивая оба выражения для имеем откуда Остается подставить это выражение в натуральное уравнение цепной линии и заменить в нем на , и мы получим искомое уравнение эволюты цепной линии — или

Для вывода натурального уравнения эвольвенты цепной линии заметим, что цепная линии по отношению к искомой кривой является эволютой, а потому, обозначая через и радиус кривизны и длину дуги эвольвенты, следует переписать исходные соотношения в виде (мы опять полагаем Подставляя

в уравнение цепной линии вместо и их выражения, получим откуда

Взяв квадратуры, будем иметь или В частности, при имеем

Как нам уже известно, эвольвентой цепной линии служит трактриса. Таким образом, полученное уравнение есть натуральное уравнение трактрисы. Это можно проверить и непосредственно, путем преобразования натурального уравнения в декартово.