6. Соотношения между логарифмическими, обратными тригонометрическими и обратными гиперболическими функциями

Гиперболические функции связаны с показательными определенными соотношениями. Естественно ожидать, что обратные гиперболические функции также связаны с функциями, обратными показательным, т. е. с логарифмическими, некоторыми соотношениями. Чтобы установить эти соотношения, рассмотрим сначала логарифмические функции комплексного аргумента.

Если где причем х, у, и v — действительные числа, — мнимая единица, то называется логарифмом и обозначается символом Отсюда следует, что для того, чтобы узнать, чему равен при данном значении надо решить уравнение относительно неизвестного

Возьмем комплексное число в показательной форме тогда наше уравнение преобразуется к виду геир или Из равенства двух комплексных чисел следует, что их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную поэтому откуда и где обыкновенный натуральный логарифм положительного числа и таким образом, «комплексный» логарифм равен

или

где причем .

Значение логарифма числа которое соответствует главному значению называется главным значением логарифма числа и обозначается Оно получается из общего выражения для при

Итак, всякое комплексное число отличное от нуля, имеет бесчисленное множество комплексных логарифмов, отличающихся друг от друга на слагаемое, кратное Следовательно, логарифм в комплексной области есть функция многозначная.

В частности, если — положительное число, то и главное значение действительное (остальные значения комплексные), оно совпадает с известным из анализа значением логарифма. Если же не является действительным положительным числом, то среди бесконечного множества значений нет ни одного действительного, так как ни одно из значений не равно нулю.

При функция не существует, так как уравнение при не имеет корней.

Легко убедиться в том, что основное свойство логарифма в действительной области — логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов сомножителей — остается в силе и в комплексной области. В самом деле, согласно Определению, равенство равносильно равенству и наоборот. Возьмем два равенства:

они равносильны равенствам Перемножив последние два между собой, получим так как то Это равенство равносильно следующему: Замечая, что приходим к доказываемому свойству логарифмов:

Заметим, что так как левая и правая части этого равен ства многозначны, то смысл равенства состоит в том, что все множество значений, определяемых его левой частью, совпадает с множеством значений, определяемых правой частью.

Обобщение понятия логарифма на комплексную область дает возможность вычислять все значения натуральных логарифмов действительных, положительных и отрицательных чисел, а также чисел комплексных, в частности чисто мнимых. Так, например, пользуясь формулой получим:

Понятие об обратных тригонометрических функциях также обобщается на случай комплексного аргумента. Если, например, где — комплексное, в частности, чисто мнимое число, то это значит, что и для нахождения следует поступать аналогично предыдущему, пользуясь формулой Заметим, что в комплексной области, так же как и в действительной содержит неопределенной слагаемое, кратное Это следует из показанной выше периодичности а также из формулы (2) на стр. 44.

Точно так же распространяется на случай комплексного аргумента понятие об обратных гиперболических функциях. Например, по определению, равенство означает, что и для нахождения следует поступать, как в случае с с той лишь разницей, что вместо формулы следует воспользоваться формулой

Установим соотношения между логарифмическими, обратными тригонометрическими и обратными гиперболическими функциями.

Покажем сначала, как связаны между собой обратные тригонометрические и логарифмические функции.

По определению, если то но по формуле Эйлера , поэтому откуда

Решая это квадратное уравнение относительно получим предполагается двузначность квадратного корня), откуда а следовательно, как то получаем формулу

Аналогично можно вывести еще три формулы:

Приводим выкладки.

Если или откуда или

Если или откуда или

Если то или откуда или

Между обратными гиперболическими и логарифмическими функциями соотношения таковы:

Формулы эти выводятся таким же образом, как и предыдущие.

Если то или откуда

Если или откуда

Если то или откуда а

Если или откуда

Итак, как обратные тригонометрические, так и обратные гиперболические функции выражаются через логарифмические функции. Следовательно, обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции должны быть связаны между собой.

Соотношения между ними таковы:

Справедливость формулы (11) вытекает непосредственно из формул (3) и (7). Для проверки формулы (10) заменим в формуле через получим Сравнивая это равенство с формулой (2), убеждаемся в справедливости формулы (10).

Заменяя в формуле через получим

Сравнивая это равенство с формулой (4), проверяем справедливость формулы (12).

Заменяя в формуле через получим

Сравнивая это равенство с формулой (5), проверяем справедливость формулы (13).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)