8. Дифференцирование и интегрирование гиперболических и обратных гиперболических функций

Формулы дифференцирования гиперболических и обратных гиперболических функций можно свести в следующую таблицу:

Первые четыре формулы выводятся следующим образом.

По определению, Поэтому Аналогично

Так как то Аналогично

Следующие четыре формулы можно вывести с помощью правила дифференцирования обратной функции: Если . Дифференцируя по у, получим

Поэтому так как

Если то откуда

Если то откуда

Если то откуда —

Формулы (9) и (10) получаются следующим образом. Как известно, формулу (8) предыдущего пункта). Поэтому

Из определения функции, обратной гудерманиану, и из формулы следует, что Поэтому

Произведя обращение таблицы производных, получим таблицу интегралов:

Приведенную таблицу интегралов можно продолжить. Применяя обычные методы интегрирования функций с учетом соотношений между гиперболическими функциями, можно получить еще ряд формул, которые мы даем ниже без доказательства (см. Приложения, таблица 7, стр. 192).

Рассмотрим вопрос о вычислении интеграла от рациональ» ной функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса. В курсе интегрального исчисления доказывается, что интеграл где — символ рациональной функции, всегда берется в конечном виде при помощи универсальной подстановки Совершенно аналогично можно вычислить интеграл с помощью подстановки

Положив мы получим откуда

В свою очередь

Подставляя полученные выражения через в подынтегральное выражение, будем иметь:

где символ рациональной функции от Так как интеграл от алгебраической рациональной функции всегда может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций, то и наш интеграл может быть выражен через элементарные функции от после чего остается произвести

обратную замену через

Пример.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)